基本不等式教案.doc

§ 基本不等式
授课类型：新授课
【学****目标】：
1. 知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意 义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2. 过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3. 情感、态度与价值观：通过本节的学****体会数学来源于生活，提高学****数学的兴趣
【教学重难点】：
1. 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
2. 难点：基本不等式等号成立条件
【课 时】：1课时
【教学方法】：教师主导，学生主体，自主与合作
【教学过程】

基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：
。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
2．总结结论：一般的，如果
结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
当
所以， 即
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，
通常我们把上式写作：
2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 (1)
只要证 a+b (2)
要证（2），只要证 a+b- 0 （3）
要证（3），只要证 （ - ） （4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
3）理解基本不等式的几何意义
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述：、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的