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2019 年高考数学抽象函数解题技巧讲解
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给
出了函数满足的一部分性质或运算法则，下面通过例题来探
讨
数学抽象函数解题技巧。
例：设 y=蕊 (x) 是定义在区间 [-1 ，1] 上的函数， 且满足条件：
(i)f(-1)=f(1)=0;
(ii) 对任意的 u,v ∈[-1 ，1] ，都有— f(u)-f(v) —≤— u-v —。
( Ⅰ) 证明：对任意的 x∈[-1 ，1] ，都有 x- 1≤f(x) ≤1-x;
( Ⅱ) 证明：对任意的 u,v ∈[-1 ，1] ，都有— f(u)-f(v) —≤ 1。
解题：
( Ⅰ) 证明：由题设条件可知，当 x∈[-1 ， 1] 时，有
f(x)=f(x)- f(1) ≤— x-1 —=1-x, 即 x- 1≤f(x) ≤1-x.
( Ⅱ) 证明：对任意的 u,v ∈[-1 ， 1] ，当— u-v —≤1时，有
— f(u)-f(v) —≤1
当— u-v — >1，u·v0 且 v-u>1, 其中 v∈(0 ， 1] ，u∈[-1 ，0)
要想使已知条件起到作用，须在 [-1 ，0) 上取一点，使之与 u
配合以利用已知条件，结合 f(-1)=f(1)=0 知，这个点可选
-1 。同理，须在 (0 ， 1] 上取点 1，使
之与 v 配合以利用已知条件。所以，
— f(u)-f(v) —≤— f(u
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给
出了函数满足的一部分性质或运算法则，下面通过例题来探
讨
数学抽象函数解题技巧。
例：设 y=蕊 (x) 是定义在区间 [-1 ，1] 上的函数， 且满足条件：
(i)f(-1)=f(1)=0;
(ii) 对任意的 u,v ∈[-1 ，1] ，都有— f(u)-f(v) —≤— u-v —。
( Ⅰ) 证明：对任意的 x∈[-1 ，1] ，都有 x- 1≤f(x) ≤1-x;
( Ⅱ) 证明：对任意的 u,v ∈[-1 ，1] ，都有— f(u)-f(v) —≤ 1。
解题：
( Ⅰ) 证明：由题设条件可知，当 x∈[-1 ， 1] 时，有
f(x)=f(x)- f(1) ≤— x-1 —=1-x, 即 x- 1≤f(x) ≤1-x.
( Ⅱ) 证明：对任意的 u,v ∈[-1 ， 1] ，当— u-v —≤1时，有
— f(u)-f(v) —≤1
当— u-v — >1，u·v0 且 v-u>1, 其中 v∈(0 ， 1] ，u∈[-1 ，0)
要想使已知条件起到作用，须在 [-1 ，0) 上取一点，使之与 u
配合以利用已知条件，结合 f(-1)=f(1)=0 知，这个点可选
-1 。同理，须在 (0 ， 1] 上取点 1，使
之与 v 配合以利用已知条件。所以，
— f(u)-f(v) —≤— f(u
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