最小生成树算法及应用.ppt

最小生成树算法及应用
最小生成树算法及应用
一、生成树的概念
若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从图中任意一个顶点出发调用一次bfs或dfs后，便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根出发通过调用一次dfs或bfs，亦可系统地访问所有顶点。在这种情况下，图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图，称为原图的生成树。
对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点出发，调用一次bfs或dfs后，一般不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。要访问其它顶点，还需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs或dfs，这样得到的是生成森林。
由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。
可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。
最小生成树算法及应用
最小生成树算法及应用
二、求图的最小生成树算法
严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是图G的一棵生成树。
对于带权连通图，生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和，权值最小的生成树，称为图的最小生成树。
求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如下面的这个例题。
最小生成树算法及应用
例1、城市公交网
[问题描述]
有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。
 
[输入]
n（城市数，1<=n<=100）；
e（边数）；
以下e行，每行3个数i,j,wij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。
 
[输出]
n-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条高速公路。
最小生成树算法及应用
[举例]
下面的图（A）表示一个5个城市的地图，图（B）、（C）是对图（A）分别进行深度优先遍历和广度优先遍历得到的一棵生成树，其权和分别为20和33，前者比后者好一些，但并不是最小生成树，最小生成树的权和为19。
[问题分析]
出发点：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边！
那么选哪n-1条边呢？
设图G的度为n，G=（V，E）
我们介绍两种基于贪心的算法，Prim算法和Kruskal算法。
最小生成树算法及应用
1、用Prim算法求最小生成树的思想如下：
①设置一个顶点的集合S和一个边的集合TE，S和TE的初始状态均为空集；
②选定图中的一个顶点K，从K开始生成最小生成树，将K加入到集合S；
③重复下列操作，直到选取了n-1条边：
选取一条权值最小的边（X，Y），其中X∈S，not (Y∈S)；
将顶点Y加入集合S，边（X，Y）加入集合TE；
④得到最小生成树T =（S，TE） 。
如何证明Prim算法的正确性呢？提示：用反证法。
因为操作是沿着边进行的，所以数据结构宜采用边集数组表示法。
最小生成树算法及应用
① 从文件中读入图的邻接矩阵g；
② 边集数组elist初始化；
For i:=1 To n-1 Do
Begin
elist[i].fromv:=1；elist[i].endv:=i+1；elist[i].weight:=g[1,i+1]；
End；
③ 求出最小生成树的n-1条边；
For k:=1 To n-1 Do
Begin
min:=maxint；m:=k；
For j:=k To n-1 Do {查找权值最小的一条边}
If elist[j].weight<min Then Begin min:=elist[j].weight；m:=j；End；
If m<>k Then Begin t:=elist[k]；elist[k]:=elist[m]；elist[m]:=t；End；
{把权值最小的边调到第k个单元}
j:=elist[k].endv； {j