第12讲 空间中的夹角和距离.doc

普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]
高三新数学第一轮复****教案(讲座12)—空间中的夹角和距离
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;(对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离)。
、直线到平面的距离,直线和平面所成的角;
,会求二面角及其平面角;

高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展,从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题。
预测07年高考试题:
(1)单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题,分值大约5分左右;解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题,分值为6分左右;
(2)选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。


空间中的距离是立体几何的重要内容,其内容主要包括:点点距,点线距,点面距,线线距,线面距,面面距。其中重点是点点距、点线距、,掌握点、线、面之间距离的概念,理解距离的垂直性和最近性,理解距离都指相应线段的长度,懂得几种距离之间的转化关系,所有这些都是十分重要的。
求距离的重点在点到平面的距离,直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
(1)两条异面直线的距离
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离;求法:如果知道两条异面直线的公垂线,那么就转化成求公垂线段的长度。
(2)点到平面的距离
平面外一点P 在该平面上的射影为P′,则线段PP′的长度就是点到平面的距离;求法:“一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。等体积法。
(3)直线与平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离;
(4)平行平面间的距离:两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离。
求距离的一般方法和步骤:应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法,把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之,其一般步骤是:
①找出或作出表示有关距离的线段;②证明它符合定义;③,可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式,如果两条异面直线a 、b 所成的角为q ,它们的公垂线AA′的长度为d ,在a 上有线段A′E =m ,b 上有线段AF =n ,那么EF =(“±”符号由实际情况选定)

空间中的各种角包括异面直线所成的角,直线与平面所成的角和二面角,要理解各种角的概念定义和取值范围,其范围依次为0°,90°、[0°,90°]和[0°,180°]。
(1)两条异面直线所成的角
求法:先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角,然后通过解三角形去求得;通过两条异面直线的方向量所成的角来求得,但是注意到异面直线所成角得范围是,向量所成的角范围是,如果求出的是钝角,要注意转化成相应的锐角。
(2)直线和平面所成的角
求法:“一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外,主要是指平面的斜线与平面所成的角,根据定义采用“射影转化法”。
(3)二面角的度量是通过其平面角来实现的
解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手,所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有:(Ⅰ)定义法;(Ⅱ)利用三垂线定理或逆定理;(Ⅲ)自空间一点作棱垂直的垂面,截二面角得两条射线所成的角,,当作二面角的平面角有困难时,可用射影面积法解之,cos q =,其中S 为斜面面积,S′为射影面积,q 为斜面与射影面所成的二面角。

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等。
推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。

题型1:直线间的距离问题
,求直线DA'与AC的距离。
解法1:如图1连结A'C',则AC∥面A'C'D',
连结DA'、DC'、DO',过O作OE⊥DO'于E
因为A'C'⊥面BB'D'D,所以A'C'⊥OE。
又O'D⊥OE,所以OE⊥面A'C'D。
因此OE为直线DA'与AC的距离。
在Rt△OO'D中,,可求得
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