等差、等比数列性质的比较与分析.doc

等差、等比数列性质的比较与分析.doc等差数列与等比数列的性质比较
等差数列性质
等比数列性质
1、定义
an+「an=d（n21）； a^a^^dCn > 2）
-^Mk=q（n > 1） ； - =q（n > 2）
an an-l
2、通项 公式
= q + （Z7 — l）d
an = am +（ji-m eM）
n-1
Q« = Qi，q
n-m
Qn= Clm ■ q
3、前n项 和
（Q1 + Q"）〃
£= 2
n{n -1）,
S„ - nai+ 2 d
q=l ,Sn=nap
i-q
_aranq i-q
4、中项
a、A、b成等差数列0A=迎；
2
an是其前k项a”土与后k项an+k的等差中
项，即：a =an-k+an+k
n 2
A h
a> A、b成等比数列—=一 a A
（不等价于A2=ab,只能n） i
an是其前k项a n_k与后k项an+k的
等比中项，即：a^=-an+k
5、下标和 公式
若m+n=p+q,则④+劣=劣+劣
特别地，若m+n=2p,则]+ n = 2 [
（该项性质可推广，m+n+t=p+q+r,则有 am+an+at=aP+aq+ar,依次，可推 广到n项数相加的情况。）
若m+n=p+q,则久•[“ =劣•劣 特别地，若 m+n=2p,则• a = a]
6、首尾项 性质
等差数列的第k项与倒数第k项的和等于 首尾两项的和，即：
Qi + Q” =。2 + an-x = •••=/ + Q"k-i）
等比数列的第k项与倒数第k项的积 等于首尾两项的积，即：
Cln ^^n-l * , ,
7、结论
｛a„ ｝为等差数列，若m, n, p成等差数列， 则saq成等差数列
｛q,, ｝为等比数列，若m,n,p成等差 数列，则saq成等比数列
（两个等差数列的和仍是等差数列） 等差数列｛[“｝,｛/?“｝的公差分别为d,e, 则数列｛a„+/?“｝仍为等差数列，公差为 d + e
（两个等比数列的积仍是等比数列） 等比数列｛Q“ ｝,｛加｝的公比分别为 P2,则数列｛["•"｝仍为等比数 列，公比为pq
取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成 的新数列仍为等差数列，且公差为2d
取出等比数列的所有奇（偶）数项，
组成的新数列仍为等比数列，且公比
2
为q
若 am =n，an =m（m 丰 n）,则 am+n = 0
无此性质；
若 Sm =n,Sn =m（m 丰 n）测 S"5 = —S + 〃）
无此性质；
若 S” = S“（m?〃），则 Sm =。
无此性质；
Sm，s2m ~Sm，s3m _ S2”，…成等差数列， 公差为m'd
当q^-1或q=-1且k为奇数时，
Sm, S2m~ Sm, S3m~ Slm,…成等比 数列，公比为/
当项数为偶数2〃时，$偶一= nd
S 奇 _
S 偶 CLn+l
当项数为奇数2〃-1时，S奇-S偶=311
（该式中an也称为中间项）
S2n-l=（2n-l）3n （该式中an也称为中 间项）
S帝_ 〃
S 偶 〃-1
当项数为偶数2〃时，s偶=0S奇
当项数为奇数2〃-1时，
S奇= a + QS偶
8、等差（等 比）数列的