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一、直接法
轨迹方程的求法
刘安锋
按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式， 坐标代换， 化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．
例 1、知直角坐标平面上点 Q（ 2，0）和圆 C： x2 +
y2 = 1 ，动点 M到圆 C的切线长与 MQ
的比等于常数 l (l > 0)（如图），求动点 M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
2 2
MN
解：设 M（x， y），直线 MN切圆 C于 N，则有
MQ
MO - ON
，即
MQ
= l ，
x2 +
∴
y2 - 1
= l

． 整 理 得
(l 2 - x
( x -
1
2) 2 + y2
2 + l ) y 2 -
( ，l x - 1
l )+ +4
这就是动点 M的轨迹方程．
若 1 ，方程化为 x
5
，它表示过点
4
5
x
( ,0) 和 轴垂直的一条直线；
4
2l 2
1+ 3l 2
2l 2
若 λ ≠ 1 ，方程化为
（ x－ ）2 +
y2 =
，它表示以
( ,0)
为圆心，
2 2 2 2
1 + 3l

2
为半径的圆．
l - 1 (l
- 1)
l - 1
l 2 - 1
二、代入法（相关点法）
若动点 M（ x，y）依赖已知曲线上的动点 N而运动，则可将转化后的动点 N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件， 从而求得动点 M的轨迹方程， 此法称为代入法， 一般用于两个或两个以上动点的情况．
例 2、已知抛物线
y2 x
1 ，定点 A（ 3， 1）， B 为抛物线上任意一点，点 P 在线段 AB上，
且有 BP: PA=1:2 ，当点 B 在抛物线上变动时，求点 P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲
线．
解：设 P( x, y), B(x , y ) ，由题设， P分线段 AB的比
AP 2 ，
1
∴ x 3 2 x1 , y
1 2
1
1 2 y1 .
1 2

解 得 x1
PB
3 3 3 1
x , y1 y .
2 2 2 2
又点 B 在抛物线
y 2 x

上，其坐标适合抛物线方程，∴
( 3 y
2
1 )2
2
( 3 x
2
3 ) 1.
2
整理得点 P的轨迹方程为 ( y
三、定义法
1 )2
3
( x
3
1), 其轨迹为抛物线．
3
若动点运动的规律满足某种曲线的定义， 则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． 此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．
例 3 、若动圆与圆 (x
2)2 y2
4 外切且与直线 x=2 相切， 则动圆圆心的轨迹方程是 ( )
（A） y 2
12x 12
0 （ B） y
12 x 12
0 （ C） y
8x 0
（D） y
8 x 0
2
2
2
解：设动圆圆心为 M，由题意， 动点 M