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数学建模中的创新案例
2011年8月
山西 太原
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创造性是灵魂，文章要有闪光点。

好创意、好想法应当既在人意料之外，又在人
意料之中。

新颖性（独特性）与合理性皆备。
数学建模中的创新性
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误区之一：数学用得越高深，越有创造性。
解决问题是第一原则，最合适的方法是最好的方法。
误区之二：创造性主要体现在建模与求解上。
创造性可以体现在建模的各个环节上，并且可以有多种表现形式。
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误区之三：好创意来自于灵感，可遇不可求。
好创意来自于对数学方法的掌握程度与对问题理解的透彻程度。
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在高空中一个边长为160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，要立即计算并判断其是否会与区域内的飞机碰撞。如果会碰撞，则要计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：
案例一：飞行管理问题（95－A）
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不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；
每架飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；
所有飞机飞行速度均为800公里/小时；
欲进入飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；
最多需考虑6架飞机；
不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你建立数学模型，对以下数据进行计算（），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。（数据略）
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模型建立与求解
模型一：设第 i 架飞机在调整时的 方向角为θi ,调整角度为Δθi （ i ＝1，2，…，6）。设任意两架飞机在区域内的最短距离为dij(θi , θj )，那么问题的非线性规划模型为
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解法：能量梯度法、惩罚函数法、序列无约束最小 化方法、逐步逼近搜索法等
模型二：
模型三：
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利用相对运动的方法得到以上模型，再简化为线性规划问题求解。

启示：转换角度看问题，也会带来创新点。
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案例二：锁具装箱（94－B）
某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从1，2，3，4，5，6这6个数中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两个限制：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。满足以上条件的所有互不相同的锁具称为一批。
从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥匙开一把锁”。但是在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其他情况下，不可能互开。
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