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定积分的计算方法
摘要
定积分是积分学中的一个基本问题,计算方法有很多,常用的计算方法有四种:(1)定义法、(2)牛顿—莱布尼茨公式、(3)定积分的分部积分法、(4)定积分的换元积分法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法,并在系统总结中简化计算方法!并注重在解题中用的方法和技巧。
关键字:定积分,定义法,莱布尼茨公式,换元法
Calculation method of definite integral
Abstract
the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills.
Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method
目录
目录 2
1绪论 3
3
4
2 常用计算方法 5
5
-莱布尼茨公式 6
7
7
3 简化计算方法 9
9
10
4总结 12
致谢 13
参考文献 13
1绪论

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积,。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积[1]。这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形。
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn],其中x0=a,xn=b。可知各区间的长度依次是:△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi(1,2,...,n),作和式
设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}(即λ是最大的区间长度),则当λ→0时,该和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分[2],记为
其中:a叫做积分下限,b叫做积分上限,区间[a, b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积表达式,∫叫做积分号。
之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数, 而不是一个函数。
根据上述定义,若函数f(x)在区间[a,b]上可积分,则有n等分的特殊分法:
特别注意,根据上述表达式有,当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时,则[0,1]区间积分表达式为:

性质1
性质2
性质3 假设a<b<c
性质4 如果在区间上,恒有,则
性质5 如果在区间上,,则(a<b)
性质6 设及分别是函数在区间上的最大值及最小值,
则,此性质可用于估计积分值的大致范围[3]。
性质7 若f(x)在[a,b]上可积,则∣f(x)∣在[a,b]上也可积,
且
性质8(积分第一中值定理) 设函数f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积,且在[a,b]上不变号,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使得:

2 常用计算方法

定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限。以为例:任意分割,任意选取作积分和再取极限。任意分割任意取所计算出的I值如果全部相同的话,则定积分存在。如果在某种分法或者某种的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者的取法下计算出来的值不相同,那么则说定积分不存在。如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的,涉及到怎样才是任意分割任意取。但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积,那么就可以根据