数学园地--奇妙的勾股数 (1).doc

数学园地
奇妙的勾股数
我们知道，勾股定理的内容极其丰富，古往今来，证明方法已达数百种。而勾股定理中的勾股数也内涵颇深。下面我谈一下自己对勾股数的理解与认识。
我主要从两个方面谈谈我对勾股数的理解。一是勾股数的找法；二是证明任意一组勾股数中既有3的倍数，也有4的倍数，还有5的倍数。
对于勾股数的找法是我平时在做题过程中发现的。原题是这样的“已知一个直角三角形的一条直角边是11，另外两边的长是正整数，求另外两边的长”。这道题对于学生来说是有一定的难度的，主要是题目给出的条件较少，一般的学生不知道从哪里着手，也不知道从哪里突破。下面我来说说这道题的解法。设另外两边的长分别为b、c，其中c为斜边，由勾股定理可知：112+b2=c2，变形可得：c2- b2=121，即（c+b）（c-b）=121，因为b、c为正整数，所以c+b与c-b也是正整数，且c+b＞ c-b，而121只有1，11，121这三个因数，所以c+b=121， c-b=1，联立方程组解得b=60，c=61，所以另外两边的长分别是60，61。我们可以将此题给出的直角边换一个数字，比如将11换成8，则可以得到82+b2=c2，变形得c2- b2=64，即（c+b）（c-b）=64，因为b、c为正整数，所以c+b与 c-b也是正整数，且c+b＞ c-b，而64有1，2，4，8，16，32，64，这些因数，所以c+b=64， c-b=1（1），或c+b=32， c-b=2（2），或c+b=16， c-b=4（3），解（1）得b=，c=（不合题意，舍去）；解（2）得b=15，c=17：解（3）得b=6，c=10：所以以8为直角边的勾股数有两组，即8，15，17；6，8，10；而这两组勾股数也是我们非常熟悉的勾股数。通过这道题我们可以总结出找勾股数的方法。任意给出一个正整数（必须不小于3，因为最小的勾股数是3，4，5），以这个正整数为直角边。利用上面的解题思路就可以找到与这个数相关的勾股数，这里主要是利用平方差公式以及分解因数得到相应的方程组，从而求得相应的b、c的值。值得注意的是，在列方程组的时候要注意c+b与c-b的奇偶性相同(因为c+b=c-b+2b，且2b是偶数，所以c+b与c-b奇偶性相同)，所以上面以8为直角边所得到的第一个方程组直接可以省略不写。也许有人会问，为什么以11为直角边所得的勾股数只有一组，而以8为直角边所得的勾股数有两组，这里我可以简单的概括一下，因为11是质数，112=121，所以121的因数少，而8是合数，82=64，所以64的因数多，而因数的多少可以决定方程组的多少。所以在上述问题中，如果给出的直角边是质数（不小于3），那么得到的勾股数就只有一组，如果给出的直角边是合数（不小于8），那么得到的勾股数就会有两组或者两组以上。但是我们从数学思想的另外一个角度看，找勾股数的方法就是一个不定方程的问题。
下面我来证明任意一组勾股数中既有3的倍数，也有4的倍数，还有5的倍数。其实这道题也是我在平时做题时遇到的一道奥林匹克竞赛题，此题难度较大，难就难在比较抽象，如果直接证明比较麻烦，很难找到突破口，也不好下手。所以我这里证明此结论用的是反证法。对于任意一组勾股数a、b、c，假设c是斜边，由勾股定理知
a2+b2=c2，假设a、b、c都不