数字图像处理 第三章ppt课件.ppt

第三章 图像变换
图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求： ①正交变换必须是可逆的； ②正变换和反变换的算法不能太复杂； ③正交变换的特点是在变换域中图像能量集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图象处理。
因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。
图像变换的目的在于：①使图像处理问题简化；②有利于图像特征提取；③有助于从概念上增强对图像信息的理解。
在此讨论常用的傅立叶变换 。
1
整理版课件

在学****傅立叶级数的时候，一个周期为T 的函数在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在[-T/2,T/2]可以展成傅立叶级数
其复指数形式为
其中
2
整理版课件
可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由那些频率分量组成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。

1. 一维连续函数的傅立叶变换
令f(x)为实变量x的连续函数，f(x) 的傅立叶变换以F(u)表示，则表达式为

若已知F(u)，则傅立叶反变换为

式（-1）和（-2）称为傅立叶变换对。
3
整理版课件
这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：
傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。
4
整理版课件
2. 二维连续函数的傅立叶变换
傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的，则存在如下的傅立叶变换对
二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为
|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2 (u，v)]1/2 (—11)
φ(u，v)=tan-1 [I(u，v)／R(u，v)] (—12)
E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v) (—13)
5
整理版课件
离散函数的傅立叶变换
假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，。
将序列表示成
f(x)=f(x0+x△x) (—16)
即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}。
6
整理版课件
被抽样函数的离散傅立叶变换可表示为


F(u)=
式中u=0，1，2，…，N﹣1。反变换为
f(x)=
式中x=0，1，2，…，N-1。
7
整理版课件
例如：对一维信号f(x)=[1 0 1 0]进行傅立叶变换。
由
得 u=0时，
u=1时,
8
整理版课件
u=2时,
u=3时,
在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为
F(u)= =Af(x)
x
y
1
-1
j
-j
9
整理版课件
在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为
F(u，v)= (—20)
式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。
f(x，y)= (—21)
式中 x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。
一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。
一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高傅立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断改进算法；另一种途径为硬件化，它不但体积小且速度快。
10
整理版课件