1996年考研数学试题答案及评分参考.pdf

郝海龙:考研数学复****大全·配套光盘·1996 年数学试题参考解答及评分标准

1996 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数学(试卷一)
一、填空题:(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)
xa 2
(1) 设 lim( )x  8,则 a  ln2 .
x xa
(2) 设一平面经过原点及点(6,3,2) ,且与平面 4x  y  2z  8 垂直,则此平面方程为
2x +2y–3z = 0 .
x x
(3) 微分方程 y'' 2 y '  2 y  e 的通解为 y  e (c1 cosxc2 sin x1)
(4) 函数u  ln(x  y 2 +z2) )在 A(1,0,1 )处沿点 A 指向点 B(3,- 2,2 )方向的方向导数
1
为.
2
 1 0 2
(5) 设 A 是 4  3 矩阵,且 A 的秩 r(A)=2,而 B = ,则 r(AB) = 2 .
 0 2 0
1 0 3
二、选择题:(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)
(x  ay)dx  ydy
(1) 已知为某函数的全微分,则 a 等于(D)
(x  y)2
(A) –1. (B) 0 . (C) 1 . (D) 2.
fx()
(2) 设 f x有二阶连续导数, 且 f (0) 0 , lim 1,则(B)
x0 x
(A) f (0) 是 f x的极大值
(B) f (0) 是 f x的极小值
(C) (0,f (0)) 是曲线 y f x的拐点
(D) f (0) 不是 f x的极值, (0,f (0)) 也不是曲线 y = f x的拐点.

(3) 设 a  0 (n  1,2,) ,且收敛,常数,则级数 n (A)
n  an (0, ) ( 1) (na tan ) 2n
n1 2 n1 n
(A) 绝对收敛(B) 条件收敛(C) 发散(D) 敛散性与有关.
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x
(4) 设 f x有连续的导数,f (0) 0 ,f '(0)  0,F x= (x2  t 2 ) f (t)dt, 且当 x  0 时,
0
F '(x) 与 x k 同阶无穷小,则 k 等于(C)
(A) 1. (B)2. (C) 3. (D) 4.
a1 0 0 b1
(5) 四阶行列式 0 a2 b2 0 的值等于(D)
0 b3 a3 0
b4 0 0 a4
(A) a1a2 a3a4 -b1b2b3b4 (B) a1a2 a3a4 +b1b2b3b4
(C)( a1a2  b1b2 )( a 3 a 4  b 3 b 4 ) (D) ( a2a3 b2b3 )( a 1 a 4  b 1 b 4 )
三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)
(1) 求心形线 r  a (1  cos) 的全长,其中 a  0 .
解: ra() sin , ……2 分

ds r22() r da(1  cos)22 (  sin ) d  2 a | cos | d ……3 分
2


利用对称性,所求心形线的全长 s2 2 a cos d 8 a sin  8 a . ……5 分
0
220
(2) 设 x1  10 , xn1  6  xn (n=1,2,…),试证数列xn 极限存在,并求此极限.
证:由 x1 10 及 xx216  16  4 ,知 xx12.
假设对某正整数 k 有 xxkk1 ,则有 xk166  x k  x k  1  x k  2 ,故由归纳法知,对
一切正整数 n ,都有 xxnn1 .即{}xn 为单调减少数列. ……3 分
又由 xxnn1 6 ,显见 xnn 0 ( 1,2,) ,即{}xn 有下界.
根据极限存在准则,知 lim xn 存在. ……4 分
n
2
令 lim xan ,对 xxnn1 6 两边取极限,得 aa6 .从而 aa60 .因此
n
aa