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C,R上多项式的因式分解.ppt

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复系数,实系数多项式的因式分解
1 复数域上多项式的因式分解
(代数基本定理) 对任意的f(x)(∈C[x],∂f≥1)在C
上至少有一个根(或:至少有一个一次因式).
由该定理可以推出:
C上次数大于1的多项式全是可约多项式
事实上,据该定理, 当∂f >1时, 应有根α1,使得
f(x) = (x- α1) f1(x), 若∂f1 >1 , 又据该定理有根α1,使
f(x) = (x- α1) (x- α2) f2(x), ···,如此讨论下去, 至多
∂fn = 1,即fn(x) = x- αn, 故重根按重数计, 有下式成立:
f(x) = a(x- α1) (x- α2) …(x- αn ) (1)
换一说法:C上不可约多项式只有一次多项式.
由如上(1)式可以给出 f(x) = x n + a1xn-1 + ··· + an
根与系数的关系(韦达定理, 此处略).
一复数域上多项式的因式分解
二实数域上多项式的因式分解
评论: 代数基本定理是本节讨论的理论基础,在此基础上肯定了n次方程有n个复根. 但这里并没有给出求根的具体方法,高次方程求根问题还远远没有解决,其内容构成数学的其它分支,已不是高等代数所要讨论的问题.作业: P48 .

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