泛函分析17.pdf

第 7 讲紧性与有限维空间可分性


教学目的:掌握单位球的紧性与空间维数的关系,以及可分的概念。
授课要点:
1、有限维空间的同构性。
2、有限维空间单位球的紧性特征。
3、可分性与可分空间。

3 中已经知道,对于有限维空间
来说,,
里我们先给出一个同构性定理,在第 4 讲中我们曾定义了两个空间同构的概念.
定理 1 设 X ,Y 是线性赋范空间,T : X → Y 是到上的线性映射,则T 是 X 到Y 上的
同构当且仅当存在正数 a , b 使得
a || x ||≤|| Tx ||≤ b || x || , ∀x ∈ X . (1)
若 X 与Y 同构,当一个是完备空间时,另一个也是.
x ∈ X 所说的不等式成立,则当Tx1 = Tx2 时,
a || x1 − x2 ||≤|| T(x1 − x2 ) ||= 0 ,
从而 x1 = x2 ,T xn , x ∈ X , xn → x ,则
|| Txn −Tx ||≤ b || xn − x ||→ 0 ,Txn → Tx ,
T yn , y ∈Y , yn → y ,不妨设 yn = Txn , y = Tx ,则
−1 −1
a || T yn −T y ||= a || xn − x ||≤|| Txn −Tx ||=|| yn − y ||→ 0 ,
−1 −1 −1
于是T yn → T y ,T X ,Y 同构.
是从 X 到Y 上的同构映射,若不存在 b > 0 使得|| Tx ||≤ b || x || (∀x ∈ X ) ,此
时对于任意的 n ,有 xn ∈ X ,|| Txn ||> n || xn || ,令
xn 1
xn′= ,则|| xn′||= → 0 ,
n || xn || n
从而 xn′→ 0 .但
||Txn ||
||Txn′||= > n →∞,
n || xn ||
这说明T b > 0 ,||Tx ||≤ b || x ||,∀x∈ X .同样地,由T −1 连续,
1
存在 a > 0 ,||T −1 y ||≤|| y ||, ∀y ∈Y ,令 y = Tx 即得 a || x ||≤||Tx || .
a
最后的结论是明显的.
线性空间 X 上的两个范数||⋅||1 ,||⋅||2 称为是彼此等价的,若存在 a,b > 0 使得
a || x ||1≤|| x ||2 ≤ b || x ||1 , ∀x∈ X (2)
由上面定理及其证明可以得出以下推论.
推论 1 线性空间 X 上的两个范数|| ⋅||1 , || ⋅||2 是彼此等价的,若对于任何 xn ∈ X ,
|| xn ||1 → 0 当且仅当|| xn ||2 → 0 .
定理 2 设 X 是线性赋范空间,Y 是 X 的线性子空间, dimY = n ,Φ n