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第16讲 w收敛与 w∗收敛

教学目的:
掌握弱收敛与弱* 收敛的概念和基本性质。
授课要点:
1 序列弱收敛的定义和基本性质。
2 序列弱* 收敛的定义和基本性质。
3 强弱序列有界性,闭性,完备性,紧性的比较。

有了共轭空间的知识,现在让我们引入一种新的收敛概念.
∗
定义 1 设 X 是线性赋范空间,X 是 X 的共轭空间,xn ,x ∈ X ,
∗
若对于每个 f ∈ X , lim f ( xfxn ) = ( ) ,则称序列{xn} 弱(ω)收敛
n→∞
ω
于 x ,记为 x = ω− lim xn ,或 xn → x 。
n→∞
以往所讲的依范数收敛,有时又称为强收敛. 必要时记之为
s
xn → x 。
定理 1 弱收敛序列的极限是惟一的.
w w ∗
证明设 xn ∈ X , xn → x , xn → y ,则∀∈f X ,
f ()xfxn →( ) ,f ()xfyn →( ) .于是 f ( xfy) = ( ) ,由 Hahn-Banach
定理的推论知道 x = y .
定理 2 设 X 是线性赋范空间, xnn,,xy , y∈ X, λn ,λ∈Φ,
w w
xn → x , yyn →, λn →λ,则
w w
xnn+yxy→+, λnnx →λx .
这一结论表明弱极限运算是线性的.
证明∀∈f X ∗,直接计算得到
f ( xnn+= y)() fx n + fy( n) → fx( ) + fy( ) = fx( + y) ,
1
f ()λnnxfxfxfx=→=λλ n( n) ( ) ( λ) ,
即是所要的结论.
s w
定理 3 若 xn → x ,则 xn → x .
证明对于每个 f ∈ X ∗,
f xfxfxx−≤−
()nn( ) ,
若 xxn −→0 ,则 f ()xfxn →( ) ,故得之.
p
例 1 弱收敛的序列可能不是强收敛的. 设 elpn ∈()>1 ,
∗
e = 0,"" ,01,0, , n ≥1. 对于每个 fl∈ pq=+= lpq−−111 ,不
n  
( ) ( )
n
∞
q
妨设,其中< ,于是.
f = ()ηη12,," ∑ηn ∞ηn → 0
n=1
此时 fe =→η 0 ,故 e w→0 . 但 e = 1 ,故 e → 0 .
( nn) n n p n
定理 4 在有限维空间中,强收敛和弱收敛是一致的.
证明只须证明其中任一弱收敛序列是强收敛的. 实际上,若
∗
()k , (0) n , (k) w (0) ,由于 nn,取线性泛函,
x x ∈Φ x → x (Φ) →Φ fi
∗
当时, , 。则 n ,
x = {xx1,," n} fii()xx= (in=1," , ) fi ∈Φ( )
()kk(), ()00(),
fii( xx) = fii( xx) =
由于()k ()0 即(k ) (0) ,换句话说,
fii( xfx) →( ) xii→→∞=xk( )( i1," , n)
x()k 依坐标收敛于 x()0 ,故 x(k) 必依范数收敛于 x(0) .
尽管一般来说弱收敛序列不必强收敛,但下面定理反映出弱收敛
与强收敛的联系是紧密的.
2
w
定理 5 若 xn → x0 ,则存在{xn} 中元素的凸组合构成的序列
kn kn
y (即 yrx= ; r ≥ 0 , r =1), yxs→.
{ n} nnn∑ ii ni ∑ ni n 0
i=1 i=1
证明考虑集合 Ecoxn= { n ;1≥} ,只须证明 x0 ∈ E .
∗
由凸集的隔离定理,对于紧集{x0} 和闭凸集 E ,存在 f ∈ X 和两
实数 rr12, ( rr12< )使得
Ref ()xrr012<<< Re fy( ) , ∀yE∈.
∗
特别地,取 yx= n 可知这是与∀∈f X , f ()xfxn →()0 矛盾的.
为了进一步刻划弱收敛,让我们引入自然嵌入算子的概念. 首先
我们有
定理 6 对于每个 xX∈,在 X ∗上定义泛函 x∗∗,使
x∗∗()ffx= ( ) , ∀∈f X ∗,
则 x∗∗∈ X ∗∗并且 x∗∗= x .