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第五章定积分的换元法.ppt

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定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系——微积分基本公式,利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分,而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法,如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算,相信定能使得定积分的计算简化,下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。
先来看一个例子
例1
换元求不定积分
令
则
故
为去掉根号
令
则
当 x 从0连续地增加到4时,t 相应地从1连续地增加到3
于是
尝试一下直接换元求定积分
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
由此可见,定积分也可以象不定积分一样进行换元,所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量,而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分,而不必回代原积分变量
一、换元公式
证
应用换元公式时应注意:
(1)
(2)
计算
解1
由定积分的几何意义
等于圆周的第一象限部分的面积
解2
故
o
例2
令
解4
令
仍可得到上述结果
解3

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