工程数学第四章 线性方程组.ppt

制作:刘金莲
第四章
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
……………
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
线性方程组
本章主要应用矩阵理论、向量空间理论研究线性方程组,主要内容如下:
一、线性方程组的消元解法
二、齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
三、非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
§1. 线性方程组的消元解法
一、线性方程组的形式
设 n 个元 m 个方程的线性方程组为
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
……………
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
(1)
注意: m 可以大于 n、小于 n、等于 n.
记
则(1)式可写成如下矩阵形式:
AX = b
(2)
称 A 为线性方程组的系数矩阵.
(3)
若将系数阵 A 按每个列为一子块进行分块,即
A=(1, 2, …, n )
则方程组又可写成向量形式:
x11+ x22+ …+ xnn=b
记
称 A 为线性方程组的增广矩阵.
当方程组右边的常数项不全为 0, 即 b0 时,称 AX=b 为非齐次线性方程组,而称 AX=0 为齐次线性方程组.
二、线性方程组的消元解法
消元法的三种基本运算包括:
1. 对换两个方程的位置;
2. 用一个数去乘一个方程加到另一个方程上;
3. 用一个非零数去乘一个方程.
这三种运算称为线性方程组的初等变换.
定理
AX = b
A = [A, b]
D = [D, d],
DX = d
同解方程
初等行变换
一一对应
一一对应
设将方程 AX=b 的增广矩阵 A=[A, b] 进行初等行变换所得到的矩阵为 D=[D, d], 则 D 所对应的方程 DX=d 与原方程AX=b同解.
例1:解线性方程组
x1+x2+x3=1
x1+2x25x3 = 2
2x1+3x24x3= 3