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第十五章傅里叶级数.doc

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第十五章傅里叶级数
1 三角级数与傅里叶级数

(1) ,,, ,是上的正交系;
(2) ,,, ,是上的正交系;
(3) 1,,,,,是上的正交系;
(4) 1,,,, ,不是上的正交系;
:
(1) 三角多项式;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8) ;
(9) ;
(10) .
,在绝对可积,证明:
(1) 如果函数在满足,则
;
(2) 如果函数在满足,则
.
2 傅里叶级数的收敛性
,并讨论收敛性:
(1) ;
(2) ;

,
(1) 用逐项积分法求,,在中的傅里叶展开式;
(2) 求级数,的和.
3. (1) 在内,求的傅里叶展开式;
(2) 求级数的和.
,且. ,为的傅里叶系数,,是的导函数的傅里叶系数,证明:
,, .
:若三角级数
中的系数,满足关系
,
M为常数,则上述三角级数收敛,且其和函数具有连续的导函数.
,求证:
.
,在上单调递减,且有界,求证:.
,在上导数单调上升有界. 求证:.
:若在点满足阶的利普希茨条件,则在点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子.
,在绝对可积,又设是的傅里叶级数的前n项部分和
,
则,
其中是狄利克雷核.
,在连续,它的傅里叶级数在点收敛. 求证:
.
、连续,其傅里叶系数全为0,则.
,在绝对可积. 又设满足
存在. 证明. 进一步,若在点连续,则,其中
.
3 任意区间上的傅里叶级数

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