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第四章线性方程组
§ 线性方程组的解的结构
上一节, 我们学习了:
1. 线性方程组有解的条件
2. 解线性方程组的Gauss消元法和主元消元法
这一节,我们将进一步讨论线性方程组的解的结构.
注意:在上一节我们得到的都是参量形式的解,在本节
我们将把线性方程组的解都写成列向量的形式,
这便于讨论方程组的解的结构.
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首先考虑齐次(即常数项为0)线性方程组: AX=0.
齐次线性方程组 AX=0 只有零解当且仅当
A 是列满秩矩阵.
证明:AX=0只有零解⇔A的列向量线性无关
⇔ A是列满秩矩阵
当A是一个 n 阶矩阵时, 线性方程组 AX=0
有非零解的充分必要条件是系数行列式等于 0.
AX=0的有限个解的线性组合仍为AX=0的解.
齐次线性方程组的解向量的集合称为解空间. 解空间的
一个极大无关组称为齐次线性方程组的一个基础解系.
可见:线性方程组AX=0的每个解都能用基础解系线性
表示. 并且基础解系的线性组合都是AX=0的解.
所以,求AX=0的解,只需求它的一个基础解系.
一个线性方程组的基础解系含有多少个解向量呢?
下面的定理回答了这个问题.
设 AX=0 是 n 元齐次线性方程组. 若秩A=r ,
则 AX=0 的一个基础解系恰为 n-r 个线性无关的解向量.
:
证明: 如果 AX=0 有一个基础解系包含 n-r 个向量,
则任意 n-r 个线性无关的解均为基础解系. 因此我们
只需证明 AX=0 有一个基础解系恰包含 n-r 个解向量.
当 r=n 时, 系数矩阵 A 是一个列满秩矩阵, 故方程
组AX=0只有零解, 因此基础解系包含 n-n=0 个解向量.
当 r<n 时, 方程组有 n-r 个自由变量, 故其参数形
式的解由 n-r 个参数给出, 设为
x 1 −b1r1 t1 −−b1n tn−r
x 2 −b2r1 t1 −−b2n tn−r

x r −brr1 t1 −−brn tn−r ,
(其中tt12,,
,tnr−是任意数.)
x r1  t1

x n  tn−r
写成向量形式为:
⎛⎞−−bb⎛⎞
⎛⎞x1 ⎜⎜1,rn+1 ⎟⎟1,
⎜⎟⎜⎜⎟⎟
⎜⎟⎜⎜
⎟⎟
⎜
⎟⎜⎜⎟⎟
⎜⎟⎜⎜⎟⎟
⎜ xr ⎟⎜⎜−−bbrr,1+ ⎟⎟rn,
⎜⎟⎜⎜⎟⎟
⎜⎟=+tt1 ⎜⎜⎟⎟
+nr−
⎜xr +1 ⎟⎜⎜⎟⎟0
⎜⎟⎜⎜1 ⎟⎟
⎜⎟⎜⎜⎟⎟
⎜
⎟⎜⎜
⎟⎟
⎜⎟⎜⎜⎟⎟
⎜ x ⎟⎜⎜⎟⎟
⎝⎠n ⎝⎠⎜⎜01⎟⎟⎝⎠
简记为:Xt=+11αα
+tnr−−nr
显然,,αα12,,
αnr−都是AX ==0的解,并且AX 0
的每个解都可由它们线性表示. 而矩阵
⎛⎞−−bb1,rn+1
1
⎜⎟
⎜⎟
⎜
⎟
⎜⎟
⎜−−bb
⎟
( ⎜ rr,1+ rn⎟
αα12,,
,αnr−)= ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜ I ⎟
⎜ n-r ⎟
⎜⎟
⎝⎠⎜⎟
秩数为 n-r .
所以αα12,,
,αnr−线性无关. 从而为基础解系.
求下列方程组的一个基础解系及通解.
⎪⎧xx12−+ x3− x4= 0
⎪
⎪22xx12−++x3x4=0
⎨⎪.
⎪33xx12−+=2x3 0
⎪
⎪44xx−−3x−x= 0
⎩⎪ 1234
解: 将系数矩阵化成约化阶梯矩阵.
⎛⎞11−−11 ⎛⎞11−−1 1
⎜⎟− 2 ×+rr12⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜22− 11⎟−3 ×+rr⎜00−13⎟
⎜⎟ 13⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜33− 20⎟−4 ×+rr⎜00−13⎟
⎜⎟ 14⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎜44−−31⎟⎝⎠⎜00−13⎟
⎛⎞11−−1 1
⎜⎟
⎜⎟
−1×+rr23⎜00−13⎟
⎜⎟
−1×+rr⎜0000⎟
24⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎜0000⎟
⎛⎞11− 02
⎜⎟
⎜⎟
1×+rr21⎜001−3⎟
⎜⎟(约化阶梯矩阵)
−1×r ⎜0000⎟
2 ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎜0000⎟
相应的方程组为
⎪⎧xx12−+=20x4
⎨⎪,
⎪xx− 30=
⎩⎪ 34
令 xa24==,xb则可得方程组的参数形式解
x 1