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傅里叶变换的通俗解释
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傅里叶变换的通俗解释
作者:韩昊（德国斯图加特大学通信与信息工程专业硕士生）
提要:这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前
世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了 ，所以很多 大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成 了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。 （您把教材
写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅 里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从 事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界 另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的 地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
以上是开场白，下面进入正题：
抱歉，还是要啰嗦一句：其实学****本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也 是希望大家学****起来更加轻松，充满乐趣。无论如何,耐下心，读下去。这篇文章 要比读课本要轻松、开心得多……
一、啥叫频域？
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车 的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法 我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的 改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的 话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了 ？我没有疯，这个静止的
世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子
在你的理解中，一段音乐是什么呢?
这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于 乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的
好的!下课，同学们再见
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子 而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是 从来没意识到而已。
现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话 ：世界是永恒
将以上两图简化：
时域：
频域:
在时域我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的 走势;而在频域，只有那一个永恒的音符。
所以，你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份 早已谱好的乐章。
抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们 任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例 子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合 出任何一首乐曲。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可 分为傅里叶级数(Fouri e r Serie心口傅里口f变换(F o uri e r Transform ation) 我们从简单的开始谈起。
二、傅里叶级数(Four i e r Ser i e s)
还是举个栗子(举个例子)并且有图有真相才好理解。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90度角的矩形波
来,你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：
第一幅图是1个（郁闷的）正弦波 c os（x）;
第二幅图是 2个（卖萌的）正弦波的叠加cos （x） +a. cos （3x）;
第三幅图是4个（发春的）正弦波的叠加；
第四幅图是10个（便秘的）正弦波的叠加；
随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家 从中体会到了什么道理？
随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线 不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的 部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠 加起来才能形成一个标准 90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无 穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）
不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来 的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受
了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
2S
在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就 是越来越接近矩形波的那个图形。而后面