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§2 第二类曲线积分与第二类曲面积分
第二类曲线积分
设 L 为空间中一条可求长的连续曲线,起点为 A ,终点为 B(这
时称 L 为定向的)。一个质点在力
F = i + j + zyxRzyxQzyxPzyx ),,(),,(),,(),,( k
的作用下沿 L 从 A 移动到 B , z
P =B
我们要计算 F zyx ),,( 所作的 n
F (ξη,, ζ iii )
功。
Pi+1
Ki τ
O P
P0=A i
P y
P1 2
x
为了解决这个问题,在曲线 L 上插入一些分点
22221111 " zyxPzyxPzyxP nnnn −−−− 1111 ),,(,),,,(),,,( ,
并令 0000 = nnnn ),,(,),,( = BzyxPAzyxP (见图 )。并且这些点是从 A
到 B 计数的。这样 L 就被这些分点分成 n 个小弧段−1PP ii ( = ",,2,1 ni )。
在小弧段−1PP ii 上任取一点 K ξηζ iiii ),,( ,取曲线 L 在 K i 的单位切向量
τ i = cosα i + cosβi + cos γ i kji ,
使它的方向与L 的定向一致。那么质点从 Pi−1 移动到 Pi 时( = ",,2,1 ni )
F 所作的功近似地等于
F ξηζ iii ),,( ⋅τ i Δsi
= P ξηζ iii α i + Q ξηζ iii β i + R ξηζ iii γ]cos),,(cos),,(cos),,([ Δsii 。
这里Δsi 是小弧段−1PP ii 的弧长。
因此 F 将质点沿L 从 A 移动到 B 所作的功为
n
W = F iii ),,(lim ⋅ζηξτΔsi
→λ 0 ∑ i
i=1 α
n
= []P iii i + Q β iii i + R iii cos),,(cos),,(cos),,(lim Δsii
λ→0 ∑
i=1
[]γζηξβζηξαζηξ
= ∫+ + γ dszyxRzyxQzyxP ,cos),,(cos),,(cos),,(
L
其中λ为所有的小弧段的最大长度。
根据这一思想我们引入下面的定义。
定义 设L 为一条定向的可求长连续曲线,起点为 A ,终点
为 B 。在 L 上每一点取单位切向量τ= α,(cos βγ)cos,cos ,使它与L 的定
向相一致。设α
f = i + j + zyxRzyxQzyxPzyx ),,(),,(),,(),,( k
β
是定义在 L 上的向量值函数,则称
∫ f ⋅τ ds = ∫[ + + cos),,(cos),,(cos),,( γ]dszyxRzyxQzyxP
L L
为 f 在L 上的第二类曲线积分。
在曲线L 上的点 zyx ),,( 处取L 的弧长微元ds ,作向量ds =τ ds ,其
中τ= αβ,cos,(cos γ)cos 为曲线L 在点 zyx ),,( 处与L 同向的单位切向
量。那么 ds 在 x 轴上的投影是cosαds ,记为 dx ,即= cosαdsdx 。同理记
= cos βdsdy , = cosγdsdz 。于是,第二类曲线积分又可以表示为
∫ f ⋅τ ds = ∫⋅ dsf = ∫+ + ),,(),,(),,( dzzyxRdyzyxQdxzyxP 。
L L L
它也称为 1-形式ω= + + ),,(),,(),,( dzzyxRdyzyxQdxzyxP 在 L 上的第二类
曲线积分,记为∫ω。
L
在曲线 L 上的点 zyx ),,( 处取L 的弧长微元ds ,作向量ds =τ ds ,其
中τ= αβ,cos,(cos γ)cos 为曲线L 在点 zyx ),,( 处与L 同向的单位切向
量。那么 ds 在 x 轴上的投影是cosαds ,记为 dx ,即= cosαdsdx 。同理记
= cos βdsdy , = cosγdsdz 。于是,第二类曲线积分又可以表示为
∫ f ⋅τ ds = ∫⋅ dsf = ∫+ + ),,(),,(),,( dzzyxRdyzyxQdxzyxP 。
L L L
它也称为 1-形式ω= + + ),,(),,(),,( dzzyxRdyzyxQdxzyxP 在 L 上的第二类
曲线积分,记为∫ω。
L
特别地,如果L 为 xy 平面上的定向光滑曲线段,第二类曲线积分
就简化为
+ = +