金融数学第三章.ppt

第三章均值方差证券投资组合选择模型
马科维茨Markowitz《证券组合选择》
投资选择:风险(低)收益(高)之间的“平衡”
基于期望收益率上的投资决策,最多只能获得最高的平均收益率
风险收益的“数量化”
前沿组合、无差异曲线数学性质
第一节风险和收益的数学度量
用随机变量表示未来的收益率
用期望代表:平均收益率
方差代表风险(得到平均收益率的不确定性)
从分布函数(条件太强)计算收益和风险
从“历史”样本估计收益和风险
证券之间关联性——相关系数
某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格的变动。关联性普遍存在。
需要度量关联性的方向和程度
随机变量的协方差和相关系数
从联合分布可计算。
用历史数据计算()()
三种相关程度:
1、完全线性相关:完全决定另一个
ρAB=1或ρAB=-1
rA=a+b×rB , σ2A=b2×σ2B
2、不完全线性相关:“部分”决定另一个
rA=a+b×rB+ε
σ2A=b2×σ2B+σ2(ε)
3、不相关:一证券的变化对另一证券的变化“没有贡献”
ρAB=0或cov(rA,rB)=0
组合的期望和方差计算方法
以两组合为例,多组合类推
“两证券组合”的收益率数学表示法
证券A和B,以总资金的WA的比例投资于A,以WB于B。WA+WB=1,则拥有证券组合
P=(WA,WB)
WA,WB为组合P中A的权数和B的权数
假设AB的收益率为rA和rB,则
P的收益率为rP=WA×rA+WB×rB
权数可以为负。
WA<0,表示该组合投资者卖空证券A
两证券组合的期望收益率与方差计算方法
必须知道相关系数或协方差
E(rP)=WA×E(rA)+WB×E(rB)
σ2P=W2A×σ2A+W2B×σ2B
+2×WA×WB×ρAB×σA×σB
选择不同的组合权数,得到不同的组合,从而得到不同的期望收益率和方差。
WA和WB有无限种取法,投资者有无限多种证券组合可供选择。
每个投资者根据自己对收益和方差(风险)的偏好,选择符合自己要求的证券组合
两种证券的结合线
分多种情况:双曲线、直线、折线
构建0风险组合、存在无风险证券情况
第二节马克维茨模型的运作过程
模型的假设条件
假设1:收益率的概率分布是已知的;
假设2:风险用收益率的方差或标准方差表示;
假设3:影响决策的因素为期望收益率和风险;
假设4:投资者遵守占优原则,即,
同一风险水平下,选择收益率较高的证券;
同一收益率水平下,选择风险较低的证券。
投资组合几何表示和可行域
选定了证券的投资比例,就确定了组合。可以计算该组合的期望收益率EP和标准差σP
以EP为纵坐标、σP为横坐标,在EP-σP坐标系中可以确定一个点。每个组合对应EP-σP中的一个点
反过来,EP-σP中的某个点有可能反映某个组合
选择“全部”有可能选择的投资比例,那么,全部组合在EP-σP中的“点”组成EP-σP中的区域
可行域(feasible set)
可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组合。
可行域之外的点是不可能实现的证券组合。
可行域=机会集
可行域必须满足的形状
左上边缘部分向外凸或直线—“凸集”
可以证明,边界是双曲线。