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积分变换 第3讲
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1
傅氏变换的性质
2
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
3
线性性质设F1(w)=F [f1(t)], F2(w)=F [f2(t)], a,b是常数, 则 F [af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w) () 这个性质的作用是很显然的, 它表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合. 它的证明只需根据定义就可推出. 同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 F -1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t) ()
4
2. 位移性质
证由傅氏变换的定义, 可知
5
微分性质如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 F [f '(t)]=jwF [f(t)]. () 证由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
推论
F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)]. ()
6
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设 F [f(t)]=F(w), 则
7
本书中的积分的记号有不严格的写法, 即
8
4. 积分性质
9
例2 求微分积分方程
的解, 其中<t<+, a,b,c均为常数.
根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记
F [x(t)]=X(w), F [h(t)]=H(w).
在方程两边取傅氏变换, 可得
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1
傅氏变换的性质
2
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
3
线性性质设F1(w)=F [f1(t)], F2(w)=F [f2(t)], a,b是常数, 则 F [af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w) () 这个性质的作用是很显然的, 它表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合. 它的证明只需根据定义就可推出. 同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 F -1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t) ()
4
2. 位移性质
证由傅氏变换的定义, 可知
5
微分性质如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 F [f '(t)]=jwF [f(t)]. () 证由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
推论
F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)]. ()
6
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设 F [f(t)]=F(w), 则
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本书中的积分的记号有不严格的写法, 即
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4. 积分性质
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例2 求微分积分方程
的解, 其中<t<+, a,b,c均为常数.
根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记
F [x(t)]=X(w), F [h(t)]=H(w).
在方程两边取傅氏变换, 可得
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