第二章随机变量及其分布.ppt

概率论 Probability Theory
浙江林学院理学院
Longsheng63@
黄龙生
第二章随机变量及其分布
在第一章中,我们学习了随机试验和随机事件概率大小的计算。随机现象大量存在,基本结果的描述也千变万化,如:
但从概率的定义和前面的实例来看,计算概率时我们并不关心具体基本结果的描述,而更多的是一种数量关系。
{正面,反面}; {男孩,女孩};
{红球,白球,黑球}; {1,2,3,4,5,6}.
在许多随机试验中,除试验结果之外,往往有另一个量与每个结果相关联,如赌博时投掷硬币,人们总是不加思素地将正面和反面转化成赢和输了多少钱; 再如,摸球中奖活动,人们摸中红球、白球、黑球等时,总是和中几等奖、多少奖金联系起来。这样,就自然建立了一个对应关系。
实际上,给随机试验的每个结果都赋予一个数值,在样本空间和实数值建立一种对应关系,是我们应用数学理论和方法来深入和系统地研究随机试验规律的基础。
§1 随机变量及分布列
有些试验结果本身与数值有关:
(1)掷一颗骰子面上出现的点数;
(4)七月份临安的最高温度;
(2)每天到杭州下火车的人数;
(3)昆虫的产卵数;
§ 随机变量的概念
在有些试验中,试验结果看来与数值无关,但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果. 也就是说,把试验结果数值化.
例:抛掷一枚硬币,观察其出现正面与反面的情况,则其有二个可能结果:出现正面H或出现反面T,其样本空间为Ω={H,T}.
若我们在样本空间上定义一个函数:
这样我们就将试验结果与实数对应起来了.
例:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命,则其样本空间为Ω={t|t≥0}.
在Ω上定义一个函数:
X=X(ω)=t, ω=t∈Ω
由于试验结果是随机的,因而函数X(ω)的取值也是随机的,它的值域是
RX=[0,+∞).
以上这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.
.

R
这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗?
X( )
定义:设E是随机试验,它的样本空间是Ω={ω}.如果对于每一个ω∈Ω,有一个实数X(ω)与之对应,这样就得到一个定义在Ω上的实值函数X=X(ω),称为随机变量.
(1)常用大写字母X,Y,Z等表示随机变量.
随机变量所取的值,一般采用小写字母x,y,z等表示.
(2)仅取有限个或可列个值的随机变量称为离散随机变量.
(3)可能取值充满数轴上的一个区间的随机变量称为连续随机变量.
引入随机变量后,就可以用随机变量X描述事件.
(2)P{X∈L}=P{ω|X(ω)∈L}.
如抛掷一枚硬币,观察其出现正面与反面的情况,在样本空间Ω上定义一个函数:
则P{X=1}=P{H}=1/2.
(1){X ∈L}表示事件{ω|X(ω)∈L}.
一般对于任意的实数集合L
例:检查一个产品是否合格,则样本空间为Ω={合格品,不合格品}
(1)定义随机变量X如下:
样本点
X的取值
合格品
0
不合格品
1
(2)X可解释为“检查一个产品的不合格品数”