正项级数收敛的判别方法.doc

数学与统计学院应用数学系综合课程设计成绩评定书设计题目: 正项级数收敛的判别方法指导教师评语成绩: 指导教师: 时间: 答辩小组意见设计成绩: 答辩组长: 审定系主任: 摘要: 各项都由正数组成的级数称为正项级数, 它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题, 通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法,并结合相关实例,判断所给级数的敛散性。关键字: 正项级数收敛比较原则比式判别法根式判别法积分判别法 1 基本概念 数项级数及其敛散性在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质, 下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。定义 1 :给定一个数列{ } nu , 对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 1 2 n u u u ? ???? ?(1) 称为数项级数或无穷级数(简称级数) ,其中 nu 称为数项级数的通项。数项级数(1) 的前 n 项之和,记为 1 n n k k S u ???,称为( 1 )的前 n 项部分和。定义 2 :若( 1 )的部分和数列{ } nS 收敛于 S (即 lim nn S S ???) ,则称数项级数( 1 )收敛,并称 S 为( 1 )的和,记为 1 nn S u ????,若{ } nS 为发散数列,则称数列( 1) 发散。根据级数( 1 )的收敛性,可以得到收敛级数的一些性质: (i) 收敛级数的柯西收敛准则级数( 1 )收敛的充要条件是: 0?? ?,0N ? ?, n N ??, p Z ?? ?,有 1 2 | | . n n n p u u u ?? ? ?? ????(ii) 级数收敛的必要条件:若级数 1 nnu ???收敛,则 lim 0 nnu ???. (iii) 去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。(iv) 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和(正项级数也满足)。(v) 运算性质: 若级数 1 nnu ???与1 nnv ???都收敛, c d 是常数,则 1 ( ) n n n cu dv ????收敛,且满足 1 ( ) n n n cu dv ????= 1 1 n n n n c u d dv ? ?? ??? ? 正项级数及其收敛的判别方法设级数???1n nu 的各项 0? nu ( 1, 2, 3, n??), 则称级数???1n nu 为正项级数. 显然,正项级数的部分和数列}{ nS 是单调增加的,即 1 2 n S S S ? ???? ?由数列极限存在准则知:如果这个数列有上界,则它收敛;否则它发散. 根据这一基本事实,可以得到正项级数收敛的基本定理。定理 1( 基本定理) 正项级数???1n nu 收敛的充要条件是: 部分和数列}{ nS 有界,即存在某正数M ,对一切正整数 n ,有n S M ?. 证: 由于0 iu?( 1, 2, ) i??, 所以}{ nS 是单调递增数列, 而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理) . 即上述定理得证。定理 2( 比较原则)设???1n nu 与???1n nv 均为正项级数, 若存在常数0c?,或者 0N ? ?对于 n N ??都有 n n u cv ?,( 1, 2, 3, n??,) 则(1) 当级数???1n nv 收敛时, 级数???1n nu 也收敛; (2) 当级数???1n nu 发散时, 级数???1n nv 发散. 证:设???1n nu 和???1n nv 的部分和分别为 nU 和nV , 于是有: n n U cV ?,当???1n nv 收敛时,nV 有界,故nU 亦必有界, 得知???1n nu ???1n nu 发散时,nU 无上界, 于是 nV 无上界,故???1n nv 发散. 下面给出比较判别法的极限形式,它在应用中较为方便。比较判别法的极限形式: 给定正项级数???1n nu 与???1n nv , 若有 lim nnnulv ???,(2) (i )当0l ? ???时,???1n nu 和???1n nv 具有相同的敛散性; ( ii )当0l?时,若???1n nv 收敛,则???1n