04184-线性代数(经管类).doc

04184-线性代数(经管类)

√ 关于：
①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；
②线性无关；
③；
④；
⑤任意一个维向量都可以用线性表示.
√ 行列式的计算：
① 若都是方阵（不必同阶）,则
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.
③关于副对角线：
√ 逆矩阵的求法:
①
②
③
④
⑤
√ 方阵的幂的性质：
√ 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式.
√ 设的列向量为,的列向量为，的列向量为,
√ 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；
用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.
√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
与分块对角阵相乘类似,即：
向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.
维列向量组线性相关；
维列向量组线性无关.
.
若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一.
矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.
阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
向量组等价 和可以相互线性表示. 记作：
矩阵等价 经过有限次初等变换化为. 记作：
矩阵与等价作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.
矩阵与作为向量组等价
矩阵与等价.
向量组可由向量组线性表示≤.
向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.
向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.
向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；
任一向量组和它的极大无关组等价.
向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.
若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；
若，的列向量线性无关,即：
线性无关.
线性方程组的矩阵式 向量式

矩阵转置的性质：
矩阵可逆的性质：
伴随矩阵的性质：
线性方程组解的性质：
√ 设为矩阵,若,则,从而一定有解.
当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.
是的上限.
√ 矩阵的秩的性质：
①
② ≤
③ ≤
④
⑤
⑥≥
⑦ ≤
⑧
⑨
⑩ 且在矩阵乘法中有左消去律:

标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
.
是单位向量 .
√ 内积的性质： ① 正定性：
② 对称性：
③ 双线性：


施密特 线性无关,

单位化：
正交矩阵 .
√ 是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基.
√ 正交矩阵的性质：① ；
② ；
③ 是正交阵,则（或）也是正交阵；
④ 两个正交阵之积仍是正交阵；
⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.
的特征矩阵 .
的特征多项式 .
的特征方程 .
√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.
√ 若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.
√
√ 若,则一定可分解为=、,从而的特征值为：, .
√ 若的全部特征值，是多项式,则:
① 的全部特征值为；
② 当可逆时,的全部特征值为,
的全部特征值为.
√
√
与相似 （为可逆阵） 记为：
√ 相似于对角阵的充要条件：恰有个线性无关的特征向量. 这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.
√ 可对角化的充要条件：