线性变换.doc

空间,设 S 不可约,而?是V 的一个线性变换,它与 S 中每一线性变换可交换。证明?或者是零变换, 或者是可逆变换. [提示:令 W= Ker?.证明 W是要的一个不变子空间. ] § 本征值和本征向量 : (i)???????????????175 131 023 ; (ii)?????????????504 941 754 ; (iii)?????????????612 3 020 663 . :对角形矩阵?????????????? na a a0 0 2 1?与?????????????? nb b b0 0 2 1?相似必要且只要 b 1,b 2,…,b n是a 1,a 2,…,a n的一个排列. A=????????dc ba 是一个实矩阵且 ad– bc=: (i)如果| trA |>2 ,那么存在可逆实矩阵 T,使得 T -1 AT =?????????10 0??. 这里R??且0??, 1, -1. (ii) 如果| trA |=2且A?I?,那么存在可逆实矩阵 T,使得 T -1 AT =????????10 11 或??????????10 11 .. (iii) 如果| trA |<2则存在可逆实矩阵 T及R??,使得 T -1 AT =????????????? cos sin sin cos . [提示]在(iii) , A 有非实共轭复特征根??????, , =1. 将???是 A的属于?的一个特征向量,计算 A)( ????和A))(( ????i . a, b, cC?.令 A=??????????cba bac acb ,B=??????????acb cba bac , C=??????????bac acb cba . (i)证明, A, B, C彼此相似; (ii) 如果 BC=CB ,那么 A, B, C的特征根至少有两个等于零. A是复数域 C上一个 n阶矩阵. (i)证明:存在 C上 n阶可逆矩阵 T使得 T -1 AT =?????????????? nn n n nbb bb bb??????? 2 222 112 10 0 ?. (ii) 对n作数学归纳法证明,复数域 C上任意一个 n阶矩阵都与一个“上三角形”矩阵?????????????? n?????????? 00 *0 ** 2 1 相似,这里主对角线以下的元素都是零. A是复数域 C上一个 n阶矩阵, n???,,, 21?是 A的全部特征根(重根按重数计算). (i)如果 f (x) 是C 上任意一个次数大于零的多项式,那么 f()( ),( ), 21nff????是 f(A) 的全部特征根. (ii) 如果 A可逆,那么 ni i,,2,1,0????,并且 113 12 11,,, ????n?????是 A -1的全部特征根 A=????????????????00001 10000 00100 00010??????????是一个 n阶矩阵。(i)计算 132,,, ?nAAA?. (ii) 求 A的全部特征根. 8.,,, 21naaa?是任意复数,行列式 D=1432 211 121