直线与圆的位置关系3.ppt

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o
p
A
B
如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
探究
∵ PA、PB是⊙O的切线，
A、B为切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB
又∵OA＝OB，OP＝OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO
结论
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
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o
p
A
B
符号语言
∵ PA、PB是⊙O的切线，
A、B为切点
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO
猜想
如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？
分析
∵ PA、PB是⊙O的切线，
A、B为切点
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO
∴OP⊥AB，且OP平分AB
C
D
归纳
从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。
AD与BD相等吗？
⌒
⌒
例1
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）写出图中所有的全等三角形.
（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
A
O
C
D
P
B
E
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
△ACP≌△BCP.
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得
PA 2 + OA 2 = OP 2
即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2
解得 x = 3 cm
所以，半径 OA 的长为 3 cm.
利用切线长定理进行计算
·
·
o
o′
p

⊙O′，
与⊙O交于A、B两点。
A
B
即直线PA、PB为⊙O的切线
如图，已知⊙O外一点P，你能用尺规过点P作⊙O的切线吗？
通过作图你能发现什么呢？


经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长是一条线段
实 验
观 察
说 明
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思考
如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
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A
B
C
A
B
C
M
D
N
I
结论
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形。
明确
；
；

分线的交点；
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。
例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D