小船过河问题分析与题解.docx

Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
小船过河问题分析与题解
小船过河问题分析与题解
【问题概说】
（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
（2）三种速度:船相对水的速度为v船（即船在静水中的速度），水的流速为v水（即水对地的速度），船的合速度为v（即船对地的速度，船的实际速度，其方向就是船的航向）。
（3）三种情景：
①过河时间最短:当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。
②过河路径最短：在v船>v水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程或路径）最小并等于河宽。
在v船<v水的条件下，当船头与船的合速度垂直时，渡河位移（航程或路径）最小。
此种情况下，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。最短航程确定如下:如图所示，以v水矢量末端为圆心，以v船矢量的大小为半径画弧，从v水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。（下图中v1表船速，v2表水速）
③最小渡河速度：水速和航向一定，船速垂直航向有最小船速。
【典型题例】
两河岸平行，河宽d=100m，水流速度v1=3m/s，求：（1）船在静水中的速度是4m/s时，欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船的位移是多大？
（2）船在静水中的速度是6m/s时，欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
v1
d
v
v2
（3），欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河？船的最小航程是多少？
[思路分析]（1）当船头垂直于河岸时，渡河时间最短：
tmin=d/v2=100/4=25s
合速度v=
船的位移大小s=v tmin=125m
v1
θ
v
v2
（2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河岸，设船的开行速度v2与岸成θ角，则cosθ=，
所以θ=600，合速度v=v2sin600=3
t=
（3）船在静水中速度小于水流的速度，船头垂直于合速度v时，渡河位移最小，
β
v2
v
v1
设船头与河岸夹角为β，如图所示：
cosβ= 所以β=600
最小位移smin=
[答案](1) 船头垂直于河岸时，渡河时间最短：tmin=25s ，s =125m；
(2) 船头向上游转过一定角度, 与岸成600角航程最短，t=；
(3) 船头垂直于合速度,船头与河岸夹角600时航程最短，smin=。
船渡河中极值问题，是运动合成与分解中典型问题，也是难点所在，准确理解并熟练掌握上述几条规律是解决此类问题的突破口。请试着完成以下几例类似题。
【练****反馈】
1、某河水流速度为5m/s，一小船对静水的速度大小是4m/s，要渡过此河，船头垂直河岸行驶，已知河宽为120m，试分析计算：
①小船能否渡河直达正对岸？
②船需多少时间才能到达对岸？
③此船登上对岸的地点离出发点的距离是多少？
④若船行至正中间时，河水流速增大到8m/s，则船渡河需要多少时间？登岸地点如何变化？
⑤此船过河的最短位移是多大？
2、北风速度4m/s，大河中的水流正以3m/s的速度向东流动，船上的乘客看见轮船烟囱冒出的烟柱