数学竞赛教案讲义（16）——平面几何.doc

第十六章 平面几何
一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）
梅涅劳斯定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则

梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若则三点共线。
塞瓦定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点，则 .
塞瓦定理的逆定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。
角元形式的塞瓦定理 分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是
广义托勒密定理 设ABCD为任意凸四边形，则AB•CD+BC•AD≥AC•BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。
斯特瓦特定理 设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有
AP2=AB2•+AC2•-BP•PC.
西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。
九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。
蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）
欧拉定理 ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且
二、方法与例题
1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。
例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。
2面积法。
例2 ◇ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为∠BPD的平分线。
3．几何变换。
例3 （蝴蝶定理）AB是⊙O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。
例4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。
4．三角法。
例5 设AD，BE与CF为ΔABC的内角平分线，D，E，F在ΔABC的边上，如果∠EDF=900，求∠BAC的所有可能的值。
5．向量法。
例6 设P是ΔABC所在平面上的一点，G是ΔABC的重心，求证：PA+PB+PC>3PG.
6．解析法。
例7 H是ΔABC的垂心，P是任意一点，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求证：X，Y，Z三点共线。
7．四点共圆。
例8 直线l与⊙O相离，P为l上任意一点，PA，PB为圆的两条切线，A，B为切点，求证：直线AB过定点。
三****题精选
1．⊙O1和⊙O2分别是ΔABC的边AB，AC上的旁切圆，⊙O1与CB，CA的延长线切于E，G，⊙O2与BC