高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案).doc

高三一轮复****精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案)
§　函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数,关于y轴对称
奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数． (　×　)
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称． (　√　)
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． (　√　)
(4)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝2. (　√　)
(5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(　√　)
(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 014)＝0. (　√　)
2．(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　)
A．－2 B．0 C．1 D．2
答案　A
解析　f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是 (　　)
A．－ B. C. D．－
答案　B
解析　依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴a＝，则a＋b＝.
4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 015)等于
(　　)
A．－2 B．2 C．－98 D．98
答案　A
解析　∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．
又f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 015)＝－2.
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．
答案　(－1,0)∪(1，＋∞)
解析　画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)>0的x的取值范围为
(－1,0)∪(1，＋∞).
题型一　判断函数的奇偶性
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(3)由，得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
∴f(x)＝＝.
∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．
思维升华　(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝.
解　(1)由，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，
f(x)＝＝－.
∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
题型二　函数周期性的应用
例2　(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)等于 (　　)
A．335 B．336 C．1 678 D．2 012
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f()＝________.
思维启迪　(1)f(