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正交矩阵及其应用
The orthogonal matrix and its applicalion
专 业: 数学与应用数学
作　　者:
指导老师:
学校
二○一
摘 要
正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具, 它的应用非常广泛. 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.
关键词: 矩阵; 正交矩阵; 标准正交基; 集合; 特征根; 行列式
Abstract
Orthogonal matrix is the mathematical study of an important class of tools, it is widely used. This article cites the following main four orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, Orthogonal matrix topology and Modem Algebra, orthogonal matrix the application of physics.
Keywords: matrix; orthogonal matrix; orthonormal basis; a collection of eigenvalues; determinant
目 录
摘 要 I
Abstract II
0 引言 1
1 正交矩阵的定义及其简单性质 1
正交矩阵的定义及其判定 1
正交矩阵的性质 1
2 正交矩阵的应用 2
正交矩阵在线性代数中的应用 2
正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用 8
正交矩阵在物理中的作用 11
参考文献 15
0 引言
正交矩阵是一类重要的实方阵, 由于它的一些特殊性质, 使得它在不同的领域都有着广泛的应用, 也推动了其它学科的发展. 本文从正交矩阵的定义以及其性质入手, 来探讨它的四大应用即: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.
1 正交矩阵的定义及其简单性质
正交矩阵的的定义及其判定
[1] 阶实矩阵, 若满足, 则称为正交矩阵.
判定1 为正交矩阵.
判定2 为正交矩阵.
判定3 为正交矩阵.
正交矩阵的性质
设为正交矩阵, 它有如下性质:
性质1[5] , 存在, 并且也为正交矩阵;
性质2[5] ,也是正交矩阵;
当时, , 即;
当时. , 即.
性质3[5] 若也是正交矩阵, 则都为正交矩阵.
证明 性质1 显然, 所以也是正交矩阵.
性质2 , 显然为正交矩阵.
由,
当时, , 即;
当时, , 即;
所以为正交矩阵.
性质3 由可知
,
故为正交矩阵. 由性质1, 性质2推知均为正交矩阵.
正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵, 使
其中为的全部特征值, 即. 这些性质这里就不再证明了.
2 正交矩阵的应用
正交矩阵在线性代数中的应用
在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Givens矩阵. 这里, 我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积, 给出化欧空间的一组基为标准正交基的另一种方法.
设向量 , 令,, 则称阶矩阵
i列 j列
为初等旋转矩阵.
初等旋转矩阵, 是由向量的第两个元素定义的, 与单位矩阵只在第行和第列相应的四个元素上有差别.
设是由向量定义的初等旋转矩阵, 则有如下的性质:
<1> 是正交矩阵;
<2> 设, 则有
;
<3> 用左乘任一矩阵,只改变的第行和行元素（用右乘任一矩阵,只改变的第列和列元素）.
证明 <1> , 故, 是正交矩阵.
<2> 由得定义知, 用左乘向量, 只改变的第两个元素, 且