函数的奇偶性
一、关于函数的奇偶性的定义
定义说明:对于函数的定义域内任意一个:
⑴ 是偶函数;
⑵奇函数;
二、函数的奇偶性的几个性质
①、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称;
②、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立;
③、可逆性: 是偶函数;奇函数;
④、等价性:,
⑤、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称;
⑥、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法:
第一种方法:利用奇、偶函数的定义,主要考查是否与、 相等,判断步骤如下:
1、定义域是否关于原点对称;2、数量关系哪个成立;
例1:判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、 ⑵、 ⑶、
⑷、 ⑸、 ⑹、
注:教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
例2:判断函数的奇偶性.
第二种方法:利用一些已知函数的奇偶性及下列准则(前提条件为两个函数的定义域交集不为空集):奇+奇= ,偶+偶= ,偶+奇= ,奇×奇= ,偶×偶= ,奇×偶= .
0
1
2
1
X
Y
图(一)
四、关于奇偶函数的图像特征
例1:已知偶函数在轴右则时的图像如图(一)试画出函数轴右则的图像。
五、关于函数奇偶性的简单应用
1、利用奇偶性求函数值
例1:已知且,那么
2、利用奇偶性比较大小
例2:已知偶函数在上为减函数,比较,,的大小.
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