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作业答案(同名3323)
第二章 波函数和薛定谔方程
证明在定态中，几率流密度与时间无关。
[证]：在定态中，波函数可写成：
并由此有：
代入几率流密度的定义式
则有：
即 仅是空间坐标的函数，与时间无关。
由下列两定态波函数计算几率流密度。
（1） （2）
从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内（即向原点）传播的球面波。
[解] 因 ，
则
所以
上述结果说明的方向沿矢经的方向，即几率沿方向向外流动，所以表示向外传播的球面波。
（2） 与（1）类似，求得
此结果表明的方向沿矢经的负方向，即几率流流向原点，所以表示向内传播的球面波。
一粒子在一维势场
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
[解]：由于势函数不随时间变化
体系的状态波函数满足定态Schrödinger方程
其中表示粒子的质量。


令 （1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
当 时，，由（4）式和（5）式有
（7）
求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置
[解] 由谐振子状态波函数
得到振子在点处出现的几率密度
当时，
由 有， or
即振子处在第一激发态时几率最大的位置
在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，试证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
[证]：由于势函数与时间无关，粒子的波函数满足定态Schrödinger方程：
（1）
其中是粒子的质量。将空间反演：
（2）
因为
所以（2）式可以写成
（3）
因而，和都是体系哈密顿算符本征方程属于同一本征值的解，描写同一个状态，它们之间只可能相差一常数

引入空间反演算符，写成：
空间再反演一次，有
写成：
则有 或
所以 （对称的，即具有偶宇称）
（反对称的，即具有奇宇称）
由此证得在一维势场中运动的粒子，当时，粒子的波函数具有确定宇称。
I
Ⅱ
III
一粒子在一维势阱
运动，求束缚态（）的能级所满足的方程
[解] 因与时间无关，体系的波函数满足定态Schrödinger方程：
即

令
在 的情况下，，均为实数。以上方程可简写成


方程的解为：
由波函数及其一阶微商，在，处连续，即
： （1）
： （2）
： （3）
： （4）
由（1）、（3）两式，可得 （5）
由（2）、（4）两式，可得 （6）
比较（5）式和（6）式，


将 分别代入（5）式（或（6）式）
（7）
（8）
将、值代入（7）式和（8）式，则得到能量所满足的方程
（9）
（10）
由此可见，体系的能量值由超越方程（7）和（8）（或（9）和（10））解出，它们可以用如下图解法求解，令
（11）
（12）
能级，就可以由以下曲线交点（如果有的话）获得，即分别求曲线方程组：
或
在，区域内的交点，如下图所示：
从图可以看到，束缚态的数目随园的半径增加而增加，即随乘积（“势阱参量”）的增加而增加，如果是有限的，则束缚态的数目也是有限的。
如果，则束缚态的数目是个
[附]
求对应的本征波函数，为此将代入（1）、（2）式，有
所以得到一组解
（13）
同理，将代入（1）、（2）式，有，于是得到另一组解
（14）
第一组解是奇函数，第二组解是偶函数，因而体系的波函数具有确定宇称。这正是势场所导致的必然结果。奇宇称解（13）对应由（7）式或（9）式确定的能 量，偶宇称解（14）对应由（8）式或（10）确定的能量。
、为归一化常数，由归一化条件确定。
分子间的范德瓦尔斯力所产生的势能可以近似地表示
求束缚态的能级所满足的方程。
[解]：由于势函数不显含时间，因而，体系的波函数满足Sc