几何变换——初中数学教师学科素养之四南昌教研室万智儒一.doc

几何变换——初中数学教师学科素养之四南昌教研室万智儒一
几 何 变 换
——初中数学教师学科素养之四

南昌市教研室 万智儒
一、辅助元素法
通过添设辅助元素（辅助线、辅助变量、辅助函数等）以使数学问题化或易于求解的方法，叫做辅助元素法，它与待定系数法并列为数学题的两种最重要的方法。
前面讨论的换元法，就是常见的辅助元素法之一，它是通过设置辅助变量来求解代数、三角函数问题的；在解题过程中，还经常用引入中间变量（或称参数），它们通常与消元法结合运用，这里主要介绍其他几种添设辅助元素解题方法。
添设辅助线
灵活而合理的添作辅助线,以使问题获得简洁的解法,是平面几何解题中的重要技巧,通常可以通过对问题的分析,从已知条件与求证结认论之间的联系出发去寻求合理的辅助线,添作辅助线也是初中几何教学的重点与难点。
过几何图形中的一些特殊点，如：
1．顶点； 2．中点；３．垂线（或高）；４．各种交点；５．平行线（平移）；
６．截长（截取）补短（延长）7．圆心；8．切点；9．两圆相交的公共弦；
10．旋转；11．对称。……
下面我们再举一部分例题
例1． 已知， AD是的中线，AE是的中线，，求证：
例2．在中,D为BC上的一点,,E为AD上一点,,连B,E,并延长交AC
通常的方法解决有困难时，可在原有的条件和结论的基础上进行引申，拓展、联想和类比，在已知和未知间搭成一座桥梁，即通过学****构造一定的数学模型（或背景）来完成解题这种方法称为构造法。
现主要介绍构造几何图形、构造方程、构造函数三个问题
。不仅是几何学,就是代数问题,三角问题都可以利用构造几何图形来解决。例6．已知，
求证：
例7． P为正方形ABCD内一点， ，
求：（1）的度数；（2）正方形的边长；（3）求PD的长。
2．构造方程。通过作出问题中所涉及的元素的辅助方程，并利用方程或方程组的理论以及诸如判别式；韦达定理知识帮助解题，可以与“方程思想”及“判别式”联系。
例8．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且，求的值。
3．构造函数。从数学问题本身的特点出发，构造辅助函数，再利用函数的特征、性质等来进求解，对于有关方程、不等式、函数最大最小值等问题，均可构造函数来解决，可以与“方程函数思想”、“解析法”相联系。
例9．在直角坐标中有四个点
，
求 ：当四边形ABCD的周长最小时的值。
二、等积变换
几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要，故有关面积计算，应用面积法证题是平面几何中的一个重要内容，用不同的方法计算同一块面积得到一个面积等式，再对这个面积等式进行整理或变换，所获得的证题方法称为等积变换，主要体现在面积法割补法，它们没有本质区别。
（一）面积法
例10．（三角形内角平分线性质）在中，AD为的平分线，
求证：
例11．正三角形所在平面上有一点P，确定P到三边的距离与正三角形高之间的关系。
（二）割补法
例12．将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转至的位置，
求 两个正方形重叠部分的面积。
例13．在直角坐标系中，矩形OABC顶点B的坐标为（15，6），直线
恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，求b的值。
例14．已知M、N是直角三角形ABC斜边上的三等分点，且，试求：斜边AB的长。
三、关于一题多解问题
在解题过程中，人们对解决问题的原则、方案、途径和方法存在着不同的思维形式，因此，对一个数学命题要采用不同方法给予解答，一题多解问题主要体现在添加不同的辅助元素，然后应用各个相关的知识点去解决。
，于D，于E，
求证：
，AD是高，，BD=3，DC=2，
求的面积。
体验****题
如图所示，，PC//ＯＡ；
，若PC=4，求PD
２．已知在中，ＡＢ＞ＡＣ，ＡＤ平分，求证：ＢＤ＞ＤＣ
3．已知实数ａ，ｂ满足，且．求ｔ的取值范围．
4．已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ是四个不同的有理数且