九年级数学上册知识点归纳.docx

一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2 （二次）
的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2;③是整式方程。
知识点二 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2+ bx + c = 0（a 丰0）.其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次 项， b 是一次项系数； c 是常数项。
知识点三 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次
方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
降次——解一元二次方程
配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
（ 1 ） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直
接开平方。一般地，对于形如 x2=a（a R）的方程，根据平方根的定义可解得 x1=,x2=.
（2）直接开平方法适用于解形如 x2=p或（mx+a） 2=p（m W0）形式的方程，如果pR,
就可以利用直接开平方法。
（ 3 ） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平
方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知
数的式子的平方项的系数为 1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；
④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，
把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （ 1） 把常数项移到等号
的右边； ⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶ 方程两边都加上一次项系数一半的平方，
把左边配成完全平方式；⑷若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
公式法
知识点一公式法解一元二次方程
一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a W0),如果b2-4ac >0,那么方程的两
个根为x= 2a ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式， 我们可以由一元二方程的系数 a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公 式法。
一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a W0)的过程。
(3)公式法解一元二次方程的具体步骤：
① 方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a W0), 一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的 值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac>0,则把a,b,c和b-4ac的值代入 公式即可求解，若b2-4acv0,则方程无实数根。
知识点二一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a W0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即4 =b 2-4ac.
>0,方程ax2+bx+c=0(a W0)有两个不相等的实数根
一元二次方程*0 ,方程ax2+bx+c=0(a W0)有两个相等的实数根
根的判别式
<0,方程 ax2+bx+c=0(a W0)无实数根
. 3因式分解法
知识点一因式分解法解一元二次方程
(1)把一元二次方程的一边化为 0,而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为
求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
(2)因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0;②
把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方
公式； ③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
到原方程的解。
④ 解一元一次方程即可得
知识点二 用合适的方法解一元一次方程
方法名称
直接开平方法
配方法
公式法
理论依据
平方根的意义
完全平方公式
配方法
适用范围
形如 x2=p 或（mx+n ） 2=p（p R）
所有一元二次方程
所有一元二次方程
当 ab=0 ，则 a=0 或 b=0 一边为 0 ，另一边易于分解成两个一次 因式的积的一元二次方程。
一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1,x2, 则有 x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a W0）有两个实数根 x1,x2,则有 x1+x2=-b/a , ,x1x2=c/a
实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
1 ） 审：是指