难点突破：立体图形外接球与内切球问题.docx

201９届高三数学第一轮复****教学案１8：难点突破:立体图形的外接球与内切球问题
一、基础知识与概念:
：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆.
ﻩ大圆：截面过球心，半径等于球半径(截面圆中最大）;小圆：截面不过球心.
２．球心和截面圆心的连线垂直于截面.
:.
:几何体的顶点都在球面上;几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切.
二、多面体的外接球(球包体）
模型1：球包直柱(直锥）:有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）
球包
直柱
球径公式：，
（为底面外接圆半径）
球包正方体
球包长方体
球包四棱柱
球包三棱柱
球包直锥
三棱锥
四棱锥
速算　
模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心(两心一顶连成线)
实例：正棱锥
球径计算方程：，
(为棱锥的高，为底面外接圆半径)
特别地，
(1）边长为正四面体的外接球半径:___＿＿___＿＿_＿＿＿.
（2)底面边长为，高为的正三棱锥的外接球半径:_＿＿＿____＿＿．
(3)底面边长为,高为的正四棱锥的外接球半径：＿＿________。
例：１。(2０17年全国卷III第８题）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
ﻩA。　 ﻩﻩﻩB． ﻩﻩﻩ C． ﻩﻩﻩ D.
【解析】模式辨识：“球包体＂中的“垂底侧边棱（母线)"类型，，，底面半径为，则由得：,。
2.（２010年全国新课标卷第10题)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
ﻩA.　ﻩﻩﻩB。 ﻩﻩﻩC． ﻩﻩﻩﻩD。　
【解析】“球包体＂中的“垂底侧边棱"类型，，，,
。
3.(20１4年全国大纲卷第8题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为２，则该球的表面积为
ﻩＡ． ﻩﻩﻩB。 ﻩ ﻩC。 ﻩﻩﻩﻩD。　
【解析】模式辨识：“球包体”中的“顶点连心锥"，,,则，
所以,答案:A．　
4。（２０１3年全国卷Ｉ第6题)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为６，如果不计容器的厚度，则球的体积为
Ａ。 ﻩ Ｂ. ﻩＣ. ﻩD．
【解析】设水面与球的接触点(切点)为,球心为，则垂直于正方体的上表面，依题意到正方体上表面的距离为，球与正方体上表面相交圆的半径，有：，
，所以球的体积.
三、定心***：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上。
ﻩ两圆定心法：如下图,过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心。
例２:，，现沿对角线折起,使得二面角为,此时点,，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
ﻩA.　ﻩﻩﻩB。 ﻩﻩ C． ﻩﻩﻩＤ．
，,,沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为___＿___＿_＿＿。
3．在边长为的菱形中，,沿对角线将菱形折成直二面角，则