上海交通大学2001年数学分析考研试题.doc

上海交通大学 2001 年数学分析考研试题一试判断下列命题的真伪。若真,证明之;若伪,举反例。( 20 分) 1. 数列?? nx 收敛于 a 的充要条件是对于任意给定的正数?,在??????aa, 中含有数列?? nx 中的无穷多项。 2. 函数 f在?? ba, 上可积必绝对可积(包括定积分与广义积分) 3. 若函数 f在?? ba, 上连续,且在点?? bax, 0?取得最小值,则存在正数?使得 f在??????aa, 中单调减,在???? 00,xx 中单调增。 ?? yxf yyxx, lim ,??存在,则?? yxf xx, lim ?与?? yxf yy, lim ?均存在。二计算或证明下列各题,需写出具体过程。( 32 分) 1. 设方程组??????????0),,( ,,zyxg utzutyutxfu 决定了 u是 x,y 的函数,求? xu 与? yu 。 2. 求积分????? 42 2 212 sin 2 sindyy xdx dyy xdx x xx??的值。 ???? nnxxnxf 221??,讨论函数列???? xf n 在?? 1,0 上的一致收敛性。 4. 设函数 f在????,0 上连续, 且对于任一自然数 n与?????,0x 成立?? xfn xf???????? 1 , 证明: f为????,0 上的常值函数。三( 12分) 在椭圆 1 2 22 2??b ya x 上求点?? 00,yxM , 使得通过点 M 的法线与原点距离最远。四( 12 分)设二元函数?? yxf, 在???? dca,,???上连续,含参广义积分?? dxyxf a???, 在 cy?发散,判断?? d