南京师范大学2001年数学分析考研试题.doc

南京师范大学 2001 年数学分析考研试题一.( 10 分) 1 .用N??语言叙述概念: }{ na 不收敛于 a; 2 .证明:若}{ na 的任一子列}{ na 都存在且收敛于 a ,则, }{ na 收敛于 a。二.( 15 分) 求下列极限: ...21 lim ?????? k kkknn n (k 为自然数) 0 21 ) (arctan lim x du u xx???? 33)0,0(),() sin( lim yx yx yx???三.( 10 分) 设)(xf 在],[ba 上可积,且0)(??cxf , 证明???? xa bxdttfdttfxF)()()( 在),(ba 内有唯一零点。四( 10 分) 设)(xf 在],[ba 上二阶可导,且满足 i)0)()()(??????x kfxfxf ( k>0 ,为常数 ii)0)()(??bfaf 则在],[ba 上0)(?xf 五.( 10 分) 设)2 1(,) 11()(??????xx xf ,证明)(xf 在),0( ??内单调递减。六.( 12 分) 设0? na ,0 lim ????la nn1) 试证明?????? 1 1n nnaa 与?????? 1111 nnnaa 同敛散; 2) L=1 ,讨论???11 n an 的收敛性(给出证明) 七.( 12 分) 设????? 1)( n nxne xS 1) 证明: )(xS 在),0( ??上连续, 2) 计算? 3 ln2 ln)(dttS 八.( 12 分) ),(yxzz?满足:0),(???x zyy zxF , 其中),(yxz ,),(vuF 均可微,求y zyx zxz??????九.( 11 分) 求?????? cdyyx yxdxyx yx 2222 ,其中光滑分段曲线 c 有界单连通区域 D 的边界取正向,原点为 D 的内点。