多项式的最大公因式.docx

多项式的最大公因式.docx多项式的最大公因式
多项式的最大公因式
问题：
（一）. 多项式的最大公因式的定义是什么？
设fx与gx是Px中两个多项式，Px中多项式dx称为 fx与gx的最大公因式，如果满足下面两个条件：
(1). dx是fx与gx的公因式；
(2). fx，gx的公因式全是dx的因式。
我们约定用 fx，gx表示首项系数为1的那个最大公因式。
定理1：对于Px中任意两个多项式fx，gx，在Px中存在一个最大公因式dx，且dx可以表示成fx，gx的一个组合，即有Px中多项式ux，vx使
dx=uxfx+vxgx
引理：设fx,gx,qx,hx∈Fx,gx≠0，且
fx=gxqx+hx
则fx与gx与qx与hx有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且
fx，gx= gx，hx
定理2：Fx的任意两个多项式fx与gx一定存在最大公因式。
（二）.用来求最大公因式的方法
(1).辗转相除法:
如果fx,gx∈Px,gx≠0，且qix,rix∈Px,使
fx=q1xgx+r1x
gx=q2xr1x+r2x
r1x=q3xr2x+r3x
⋯⋯
rs-2x=qsxrs-1x+rsx
rs-1x=qs+1xrsx+0
其中∂rix≥0，则rsx是fx与gx的一个最大公因式。
(2).串位加减法
(3).矩阵求法：
A=fxgx一系列初等行变换dx0
dx= fx，gx
fx=x4+3x3-x2-4x-3
gx=3x3+10x2+2x-3
求 fx，gx
解：法1辗转相除法。
-275x+9
=q2x
gx
3x3+10x2+2x-3
3x3+15x2+18x
fx
x4+3x3-x2-4x-3
x4+103x3+23x2-x
13x-9
=q1x
-5x2-16x-3
-5x2-25x-30
-13x3-53x2-3x-3
-13x3-109x2-29x+13
r2x=9x+27
r1x=-59x2-259x-103
-59x2-53x
-581x-1081
=q3x
-109x-103
-109x-103
r3x=0
求得r2x=9x+27是最大公因式，即
fx，gx=x+3
法2串位加减法
设c≠0，则对于任意多项式fx，gx
fx，gx= fx，cgx
1 3 -1 -4 -3
3 10 2 -3
fx
gx
1 5 9 9
5 25 30
1 5 6
5 16 3
9 27
3
6
1 3
r1x=-3fx+xgx
r2x=3r1x-gx
r3x=15r2x=r1*x
r4x=-gx+3xr1*x
r5x=-r4x+5r1*x
r6x=19r5x=r2*x
r7x=r1*x-r2*x
r8x=12r7x
0
于是r7x=2x+6是最大公因式，即
fx，gx=x+3
例2．令F是有理数域，求出Fx的多项式
fx=4x4-2x3