(教案)基本不等式.docx

基本不等式
【课时安排】
3课时
【第一课时】
【教学目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学****体会数学来源于生活，提高学****数学的兴趣。
【教学重难点】
教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
教学难点：基本不等式等号成立条件。
【教学过程】
一、课题导入。
基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
二、讲授新课。
1．探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和
是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
2．得到结论：一般的，如果
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
当
所以，，即
4．（1）从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的，如果a>0，b>0，我们用分别代替a．b，可得，
通常我们把上式写作：
（2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证（1）
只要证a+b_____（2）
要证（2），只要证a+b-_____0（3）
要证（3），只要证（_____-_____）（4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
（3）理解基本不等式的几何意义
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述：1．如果把看作是正数a．b的等差中项，看作是正数a．b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
2．在数学中，我们称为a．b的算术平均数，称为a．：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
[补充例题]
例1：已知x、y都是正数，求证：
（1）≥2；
（2）（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3．
分析：在运用定理：时，注意条件a．b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数
∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0
（1）＝2即≥2．
（2）x＋y≥2＞0 ＋y2≥2＞0 3＋y3≥2＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）