概率论与数理统计课件5-3.ppt

随机变量的独立性
如果随机变量ξ、η满足:对所有的实数 x、y ,
联合分布函数都等于边缘分布函数的乘积:

即 F ( x,y ) = Fξ(x)×Fη(y)
则称随机变量ξ、η是相互独立的.
( independent, 缩写为:ind )
定义两个随机变量的相互独立
随机变量的独立就是事件独立性的推广
注意
要判断两个离散随机变量不独立,只需要找到
某一对整数 i0、j0 ,使得:
pi j ≠ pi · × p· j
0 0 0 0
按照随机变量的类型
联合分布律等于边缘分布律的乘积. 即,
pi j = pi ·×p· j 对全部 i、j 成立
两个离散随机变量的独立
一. 如何判断随机变量的独立
例从 1,2,3,4 中随机地取一个数 X ,
再从 1,· · ·,X 中随机地取一个数 Y,
判断 X、Y 是否独立?
解. 联合分布律以及边缘分布律是:
显然 X、Y 不独立。
X \ Y 1 2 3 4 pi ·
1 1/4 0 0 0 1/4
2 1/8 1/8 0 0 1/4
3 1/12 1/12 1/12 0 1/4
4 1/16 1/16 1/16 1/16 1/4
p· j 25/48 13/48 7/48 3/48 1
联合分布密度函数等于边缘分布密度函数的乘积。即,
f ( x,y ) = fξ(x)×fη(y)
两个连续随机变量的独立
随机变量ξ、η是相互独立的充要条件是条件分布总是等于无条件分布。
例讨论两人约好7 点到 8 点见面,
先到者等20 分钟就离开,求两人能够见面的概率。
以 x ,y 分别表示两人到达的时间,
他们能见面的充要条件
是| x – y | ≤ 1/3 ,即图
中两条直线间的部分 A
1
1
o
x
y
S
1/3
1/3
A
x – y = – 1/3
x – y = 1/3
p = —————= 1 –—= —。
A 的面积
S 的面积
4 5
9 9
解. 以 X、Y 分别表示甲、乙的到达时间,它们都是
服从区间( 0,1 ) 上均匀分布的随机变量。
并且根据题意,X、Y 相互独立,联合密度函数是
p (x,y) = 1 ,0 < x,y < 1
两人能够见面的概率,也就是:
p = P { | X – Y | ≤ 1/3 }
根据面积来计算这个二重积分,就是几何概率的做法, 而且非常简单。
因此,他们两人能够见面的概率是:
= 2×{ —+ ( y –—) }
= 2×( —+ —–—) = —。
2 y2
9 2
2 1 4 5
9 2 9 9
1
2/3
推广到n个随机变量的情形
如何应用随机变量的独立
两个随机变量的独立可以理解成:
与这两个随机变量有关的所有随机事件都是独立的
大多数的情况下,随机变量的独立性是用于:
从各自的(边缘) 分布得到联合分布。
联合分布、边缘分布与条件分布的关系
与概率乘法公式相比较:
P (AB) = P (A)×P (B|A) = P (B)×P (A|B)
1. 对于离散随机向量
pi j = pi ·×p j | i = p· j×p i | j
对于连续随机向量
f(x,y) =fξ(x)×f (y|x) = fη(y)×f (x|y)