初中升高中数学衔接.docx

一元二次方程

{情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法,
如求方程的根(1)(2) (3) }
我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),用配方法可以将其变形为
. ①
因为a≠0,所以,4a2>
(1)当b2-4ac>0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
x1,2=;
(2)当b2-4ac=0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根
x1=x2=-;
(3)当b2-4ac<0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根.
由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.
综上所述,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有
当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x1,2=;
(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-;
(3)当Δ<0时,方程没有实数根.
例1 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.
(1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0;
(3) x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0.
根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
,,
则有
;
.
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=,x1·x2=.这一关系也被称为韦达定理.
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1,x2是其两根,由韦达定理可知
x1+x2=-p,x1·x2=q,
即 p=-(x1+x2),q=x1·x2,
所以,方程x2+px+q=0可化为 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,由于x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两根,所以,x1,x2也是一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1·x2=
以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.
例2 已知方程的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
例3 已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.

例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根.
(1)求| x1-x2|的值; (2)求的值;(3)x13+x23.



于是有下面的结论:
若x1和x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),则| x1-x2|=(其中Δ=b2-4ac).
例6 若关于x的一元二次方程x2-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数a的取值范围.
练****br/>:
(1)方程的根的情况是( )
(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根