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三次函数性质总结
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系列探究1：从最简单的三次函数开始
反思1：三次函数的相关性质呢？
反思2：三次函数的相关性质呢？
反思3：三次函数的相关性质呢？
（2012天津理）（4）函数在区间(0,1)内的零点个数是 B
（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
系列探究2：探究一般三次函数的性质：
先求导
1． 单调性：
（1）若，此时函数在R上是增函数；
（2）若，令两根为且，
则在上单调递增，在上单调递减。
a>0
a<0
导函数
>0
0
>0
0
图
象
x1
x2
x
x0
x
x1
x2
x
x0
x
2．极值点的个数：若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x) (或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。
（1）若，此时函数无极值；三次函数在上不存在极值点。
（2）若，三次函数在上的极值点要么有两个。
且两根为且，
此时函数在处取极大值，简言之：波峰是为极大值
在处取极小值，简言之：波谷是为极小值
论证如下：
令f′（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f/（x）=0的实根。
①当Δ=4b2-12ac＞0时，方程f/（x）=0有两个不等的实根，记为x1、x2，
则x1、x2是f（x）在(-∞,+∞)上的两个极值点；
②当Δ=4b2-12ac =0时，该方程有两个等根：x1=x2=x0，由下表可知y=f（x）在(-∞,+∞)上单调增，
此时y=f（x）没有极值点；

x
(-∞,x0)
x0
（x0，+∞)
f/（x）
+
0
+
f(x)
↗

↖
③当Δ=4b2-12ac＜0时，f/（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。
：函数当且仅当时是奇函数。
4．对称性：函数图象关于点中心对称（了解）
证明：三次函数关于点（m，n）对称的充要条件是，即
+，
整理得，
据多项式恒等对应系数相等,可得
且=，
从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；

证明：设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以
化简得：
上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
实际上：其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
由上又可得以下结论：
是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.
证明 的图象关于对称，则

图象关于直线对称.
若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
证明 图象关于直线对称，则，
，
， 图象关于点对称.
这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
系列探究3：三次函数f（x）图象的切线条数
由三次函数的中心对称性可知：