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线性常系数差分方程及其求解

设连续函数为e(t),采样后为e(kT),通常为方便起见，记为
差分：两个采样信息之间的差值；分为前向差分和后向差分两种。
定义：
一阶前向差分
二阶前向差分
n阶前向差分
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一阶后向差分
二阶后向差分
n阶后向差分

对于输入、输出均为采样信号的线性定常离散系统，动态方程除了含有输入输出变量外，还有它们的各阶差分，则此方程为差分方程。差分方程分为前向差分方程和后向差分方程。
前向差分方程：
为常系数
为输入信号，
为输出信号，且有
式中：
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后向差分方程：
注意：差分方程的阶次是输出量差分的最大阶次减去最小阶次。

实际的离散控制系统中，被控对象是连续的物理系统，而数字控制器输出的信号是离散的。系统中的连续部分一般由微分方程或传递函数来描述，为了分析方便，需要通过离散化方法建立系统的差分方程。由连续系统的微分方程求差分方程时，若采样周期足够小，就可以用差分近似表示微分来实现离散化。
用前向差分近似表示微分
用后向差分近似表示微分
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例7-20 已知系统的微分方程为
求离散后的前向差分方程。
解：
代入微分方程，有
整理后得
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4. 差分方程的求解方法
迭代法：已知差分方程的输入采样序列、输出采样序列的初值， 利用差分方程的递推关系，逐步求出输出采样序列。
例7-21 已知离散系统的差分方程为 ，且输入序列
初始条件
试用迭代法求输出序列
解：
差分方程的递推关系为
由初始条件
递推得到
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Z变换法：通过Z变换将时域中的差分方程转化为z域中的代数方程，求出代数方程的解，再经Z反变换获得方程的时域解。
例
用Z变换法解差分方程： c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0
初始条件c(0)=0,c(1)=1,求c(k)。
解：
对方程两边进行Z变换
代入初始条件并化简
将C(z)/z展开部分分式：
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已知输入序列 ,初始条件c(0)=c(1)=0,求输出响应c(k)。
例7-22
离散系统的差分方程为
解：
对前向差分方程两边进行Z变换，得到
，且初始条件为零 ，得到
求得
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脉冲传递函数
线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：零初始条件下系统输出采 样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比。
也可记为
脉冲传递函数为
已知系统的脉冲传递函数G(z)和输入采样信号的Z变换 R(z)，在初始条件为零时的输出采样信号为
1. 脉冲传递函数定义
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对于大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号c(t)而不是采样信号C*(t)。这时，无法求脉冲传递函数。
在这种情况下，我们可以在输出端虚设一个采样开关，它与输入端采样开关一样，以周期T同步工作。
如果系统的实际输出比较平滑，在采样点处无跳变，且采样周期很小，那么我们就可以用c*(t)来近似描述系统的实际输出c(t)。可见，用脉冲传递函数分析系统，只能给出实际输出c(t)在采样时刻的值。
说明：
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2. 采样函数拉氏变换的两个重要性质
性质1 采样函数的拉氏变换具有周期性，即
其中， 为采样角频率。
有
令
由采样函数的拉氏变换
证明：
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