极限定理样本及抽样分布.ppt

极限定理样本及抽样分布
X~B(n, p),
以Ｘi表示第ｉ次试验A发生的次数
以X表示n重贝努里试验A发生次数
EX=np, DX=npq,
大数定律
Ｘi独立同分布
中心极限定理
Ｘi独立同分布, 且E(Xi )=μ, D(Xi )= б2
大数定律
大数定律 表达了大量随机变量平均值的稳定性.
.
,
...
,
,
1
}
{
lim
2
1
a
Y
a
Y
Y
Y
a
Y
P
P
n
n
n
n
¾
®
¾
=
<
-
¥
®
记为
依概率收敛于
则称序列
对于任意正数e, 有
设随机变量序列Y1 , Y2 …Yn , a是常数,
L
e
贝努利大数定律 以nA是n次贝努利试验中A出现的次数, P(A)=p, 则当n→∞时,有:
表达了频率的稳定性.
X~B(n, p), X表示n重贝努里试验中A发生次数 .
第ｉ次试验中A发生
第ｉ次试验中A不发生
有
辛钦大数定律 设随机变量X1 , X2… Xn …相互独立, 服从同一分布，数学期望 E(Xi )= (i=1, 2…),
则对于任意正数 , 有
表达了随机变量算术平均值的稳定性.
设电站供电网有 10000盏电灯, , 假定开关时间彼此独立, 估计夜晚同时开着的灯数在 6800与 7200之间的概率.
解：设X表示同时开着的灯数, 有X~ b(10000, ).
E( X )=7000 , D( X )= 2100,
中心极限定理
观察结果表明：大量相互独立的随机变量之和, 每个随机变量对总和的影响都很小, 近似服从正态分布.
独立同分布的中心极限定理
设X1 , X2 …..Xn独立同分布, E(Xi )=μ, D(Xi )= б2 ,
当n充分大时, 有
即
一个螺丝钉重量时一个随机变量, 期望值是1两, 标准差是0,1两. 求一盒( 100个 )同型号螺丝钉的重量超过 斤的概率.
解 设一盒重量为X, 第i个螺丝钉重量为Xi, 有
E( Xi )=1 , D( Xi )= ,
有 X ~ N(100 , 1).
对敌人的防御地进行100次轰炸, 每次轰炸命中目标的炸弹数是随机变量, 期望值 2, 方差 . 求在100次轰炸中有 180到 220 颗炸弹命中目标的概率.
解: 以Xi表示第i次轰炸中命中目标的炸弹数,则
有 X近似服从N(200 , 169).
设X~B(n, p), 则X表示n重贝努里试验中A发生次数 .
第ｉ次试验中A发生
第ｉ次试验中A不发生
德莫佛-拉普拉斯定理
设随机变量 X~B(n, p), 则当n充分大时, 有
即