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专题复****球与球体
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2021年高考专题复****球与球体
典型例题1——球的截面
例1 球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
【练****过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，求弦的长度．
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典型例题2——球面距离
例2 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（　　）．
有且只有一个　 B．一个或无穷多个
C．无数个　　　　 D．以上均不正确
例3　球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为，求这个球的半径．
例4　、是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为
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，求过、的平面中，与球心的最大距离是多少？
典型例题3——其它问题
例5．自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．
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例6．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．
典型例题4——球与几何体的切、接问题
例7　一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
例8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
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例9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
例10．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．
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作业 1.　正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
2.　求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
3 在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和．求球的表面积．
【高考真题】
1.（2021四川理数）（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别
与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是
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（A） （B） w_w_w（C） （D）
2.（2021湖北文数），若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是 cm.
3.（2021全国卷Ⅰ文）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________________.
A
B
O1
O
4.（2021陕西卷文）如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B是圆上两点，若=，则A,B两点间的球面距离为 .
5.（安徽卷理16文16）已知在同一个球面上,若,则两点间的球面距离是
6.（江西卷文15）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦的长度分别等于、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 ．
7.（辽宁卷理14文14）在体积为的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________．
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8.（天津卷理12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 .
9.（浙江卷理14文15）如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O点体积等于___________。
2021年高考专题复****球与球体
例1分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式求出球半径．
解：∵，，，
∴，是以为斜边的直角三角形．
∴的外接圆的半径为，即截面圆的半径，
又球心到截面的距离为，∴，得．
∴球的表面积为
说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式解题，我们可以通过两个量求第三个量，