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§ 4定积分计算
1. 教学目的：掌握微积分学基本定理.
2. 教学内容：
变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元积分 法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项.
基本要求：
(1) 掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积分法.
(2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项.
3. 教学建议：
(1) 微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与 结论.
(2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点•对较好学生要求他们了解 这些内容.
微积分学基本定理:
1. 变限积分的可微性 一-
微积分学基本疋理：
Th 1 (微积分学基本定理
)若函数 f • C[a,b],
则面积函数 G
(x)二
x
f f(t)dt
a
在[a ,b]上可导，且 G (x) = —
dx
x
Ja f(t)dt= f(x).
a
即当 f C[a,b]
时，
面积函数
x
G(x)(t)dt可导且在点［a,b］的导数恰为被积函数在上限的值 .亦即叮J(x)是
a
f (x)的一个原函数•
证
系 连续函数必有原函数
2.
Newt on — Leib niz
公式：
Th 2
(N — L公式
)(证)
b
b
例1
i > x2dx;
ii > exdx;
0
a
例2
e
In xdx.
e1
.（ 与§ 1例3联系）
C[a,b], f(x)_O 但 f(x)=O
# / 3
# / 3
证明
b
f >0.
§ 3例3对照.）
证明分析：
证明
a b
0 f(x)dx ：： f (x)dx.
L a p a
设 G(x)二
x
f (t)dt,只要证明 G(a) ：：： G(b).
a
为此证明：i） ：G （x） / （只要门（X）_0） ； ii） 但：•：』（X）不是常值函数
（只要门（X）= 0）, iii） 又：：」（a） _0.
1
证明 lim dx = 0.(
n % 1 ' x
xn
利用［0,1］上的不等式0 x.）
1 + x
Th 3
ii >
定积分换元法:
设f • C［a,b］,函数T满足条件：
（.）二a, （J =b,且 a 乞（t）乞 b, t」，订；
（t）在［:•，订上有连续的导函数.
b -
.f（x）dx 二 f［ （t）］ （t）dt. （证）
a
1
.1 - x2dx. ( [1]P305 E4 )
0
2
sin t costdt. ( [1]P305 E5 )
0
计算
In (1 川'x)
2 dx. ( [1]P305 — 306 E6 ) 该例为技巧积分•
dx
0 x 亠、a2 -x2
([4] P216 E63 )
该例亦为技巧积分•