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第五章
相似矩阵及二次型
§ 对称矩阵的对角化
§ 相似矩阵
§ 方阵的特征值与特征向量
§ 向量的内积、长度及正交性
§ 二次型及其标准形
§ 用配方法化二次型成标准形
§ 正定二次型
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n 维向量空间是三维向量空间的直接推广, 但是只定义了线性运算, 而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维空间丰富的内容.
§ 向量的内积、长度及正交性
引言
我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中.
在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积)
建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积
设
则
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内积
一、内积的定义及性质
定义
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性质
著名的Cauchy-Schwarz不等式
即
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长度
范数
二、向量的长度及性质
定义
性质
(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证,见P114)
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单位向量
夹角.
三、单位向量和 n 维向量间的夹角
正交
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四、正交向量组
定义
若一个不含零向量的向量组 中的向量两两正交 ，则称该向量组为正交向量组．又如果这些向量都是单位向量 ,则称该向量组为规范正交向量组.
若该向量组是一个向量空间 V 的基, 又分别称为向量空间 V 的正交基和规范正交基.
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性质
证
设 是正交向量组
正交向量组必线性无关.
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例1
解
这相当于要求方程组的非零解
求得基础解系(即为所求)为
已知 中两个正交向量
试求 使 构成
的一个正交基.
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例2
(例1的一般化, 也称正交基的扩张定理)
设 是 中的一个正交向量组, ,证明必可找到 个向量 使 构成 的正交基.
都正交.
证 只需证必可找到 使 与
记
必有非零解.
其任一非零解即为所求的
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