第五讲显式差分和隐式差分.pptx

第五讲显式差分和隐式差分
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回顾
1. 有限差分法的相容性、稳定性和收敛性
相容性：针对差分格式而言，在时间步长和空间步长趋近于零的情况下，
如果差分格式的截断误差（差分格式与原有偏微分方程之差）的模趋近于零，
则该差分格式与原偏微分方程是相容的，或称该差分方程与原偏微分方程
具有相容性。
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稳定性（stability）：如果偏微分方程的严格解析解有界，差分格式给出的解也有界，称该差分格式是稳定的；如果差分格式给出的解是无界的，则称该差分格式是不稳定的。
稳定性反映了差分格式在计算中控制误差传递的能力
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收敛性（convergence）：如果当时间和空间步长趋于零时，FDE解趋于PDE解，称该差分格式是收敛的。
如果
则称该差分格式是收敛的。
收敛性描述的是当差分网格无限细化时，差分方程的解是否具有无限逼近偏微分方程的解的能力
Lax等价定理（Lax equivalence theorem）：如果逼近一个给定问题的差分格式是相容的，那么该差分格式的收敛性与稳定性互为充分必要条件。
相容性是比较容易满足的。在此基础上，如果满足了稳定性条件，差分格式的收敛性就自动满足。
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U=0
U=0
U=100
U=0
2
1
4
3
6
5
8
7
10
9
12
11
14
13
15
有限差分法实例
(i,j)
(i+1,j)
(i-1,j)
0
1
2
3
4
(i,j)
(i+1,j-1)
(i-1,j-1)
(i,j+1)
(i+1,j+1)
(i-1,j+1)
i-1
i
i+1
j-1
j
j+1
h1
h3
h2
h4
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(i,j)
(i+1,j)
(i-1,j)
0
1
2
3
4
(i,j)
(i+1,j-1)
(i-1,j-1)
(i,j+1)
(i+1,j+1)
(i-1,j+1)
i-1
i
i+1
j-1
j
j+1
h1
h3
h2
h4
for j=2:n-1
for i=2:m-1;
a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i+1)=1;
a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i-1)=1;
a((j-1)*m+i,j*m+i)=1;
a((j-1)*m+i,(j-2)*m+i)=1;
a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i)=-4;
end
end
内部节点：
边界节点：
A矩阵非零系数减少，
同时引入第一类边界，
方程右端项B向量出现
非零元素。
局部节点编号
总体节点编号
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组建A和B矩阵，求解线性方程组得到X
第七页，共52页
%Matlab 2D
clear;
clc;
figure('color','w');

a=zeros(135,135);
for i=1:135
a(i,i)=1;
end;
for i=1:7
a(15*i+1,15*i+2)=-;
a(15*i+1,15*i+16)=-;
a(15*i+1,15*i-14)=-;
end
for i=1:7
a(15*i+15,15*i+14)=-;
a(15*i+15,15*i+30)=-;
a(15*i+15,15*i)=-;
End
a(1,2)=-;
a(1,16)=-;
a(121,122)=-;
a(121,106)=-;
a(135,134)=-;
a(135,120)=-;
a(15,14)=-;
a(15,30)=-;
for i=2:14
a(i,i-1)=-;
a(i,i+1)=-;
a(i,i+15)=-;
end
for i=122:134
a(i,i-1)=-;
a(i,i+1)=-;
a(i,i-15)=-;
end
for i=1:7
for j=2:14;
a(15*i+j,15*i+j-1)=-;
a(15*i+j,15*i+j+1)=-;
a(15*i+j,15*i+j+15)=-;
a(15*i+j,15*i+j-15)=-;
end
end
b=a^(-1);
c=zeros(135,1);
f