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一个特殊四面体的性质探究
江苏省海安县实验中学 仲永红
由正四面体的性质，运用联想类比的思想方法来探求直角四面体的性质。所谓直角四面体就是有一 个三面角的各个面角都是直角的四面体。如图，四面体 OAB（在点0处的三个面角都是直角。所以四面体
OABC是直角四面体。
直角四面体的性质:
① 直角四面体的对棱互相垂直
证明：如图丁 0B丄OC, 0B丄0A
0B丄平面OAC
丄丄…'，同理可得:—H
.直角四面体的对棱互相垂直.
② 二面角A-OB-C 二面角 A-OC-B二面角B-OA-C都是直二面角
证明：由（1）得OB丄平面OAC
/ AOC是二面角A-OB-C的平面角，即二面角 A-OB-C是直二面角。 同理可得:OC丄平面OAB二面角A-OC-B是直二面角，
OD丄平面OBC二面角B-OA-C是直二面角。
③ 直角顶点O在底面上的射影H是厶ABC的垂心.
证明：连结 AH ，并延长交一I'于一，连结 0D
TO//丄平^ABC,少丄BC
由三垂线定理的逆定理得 BCLAH
④S2 △ BO=Sx BHC •△ ABC
证明：I二门丄—二.
•••紳•込和顼冷8
1111
⑤二「J <J:二
证明： 在血0沖 AO OD^OH AD
工二-二_J'! 即
1 1 1
丽■丽+百
砲0冲丄二丄+厶
里，在
丄-丄丄丄
⑥不含直角的底面ABC是锐角三角形.
证明：设 OA = a , OB = b , OC = c,则
込 J/+卩，込 JJ+J , sc=4i^7
在中，由余弦定理得
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2 AB AC J（/+护）（屮+/）
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所以/ / ABC / ACB是锐角，所以△ ABC是锐角三角形
证明：由（6）得:
cosZSAC =」
（/+护）（卫+刊
⑦S2 > △ △ AOB+S △ AO=S △ ABC （底面面积
-AB AC sinZSAC
2
SUA£C = - J/ +?+? • 71-cos5Z5^
隘卡匕+怎爲
=扣智+叨汨
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⑧体积V=::.
证明:
r=-sft=-^naBC 04=
鳥5W扑
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